вправа 17.2 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 17.2
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
ГДЗ:
\begin{equation}
1)2 \sin^{2} x-3 \sin x+1=0.
\end{equation}
Заміна
\begin{equation}
x=t.
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}-3t+1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=9-4 \cdot 2 \cdot 1=1;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{3+1}{2 \cdot 2}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{3-1}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}.
\end{equation}
Обернена зміна:
\begin{equation}
\sin x=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x=\frac{\pi }{2} + \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\sin x=\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x=(-1)^{k} \arcsin \frac{1}{2}+
\end{equation}
\begin{equation}
+\pi k, k \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}+2 \pi n;
\end{equation}
\begin{equation}
(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k, n, k \in Z.
\end{equation}
2) Заміна
\begin{equation}
\cos 2x=t,
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}-t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=3;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{1-3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.
\end{equation}
Обернена заміна
\begin{equation}
\cos 2x=1;
\end{equation}
\begin{equation}
2x=2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\cos 2x=-\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
2x= \pm \arccos \left ( -\frac{1}{2} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+\pi k, k \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
2x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pi n; \pm \frac{\pi}{3}+\pi k, n, k \in Z.
\end{equation}
