вправа 17.5 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 17.5
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)6 \cos^{2}x+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} 6(1-\sin^{2}x)+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} 6-6 \sin^{2} x+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} -6 \sin^{2}x+5 \sin x=0. \end{equation} Заміна sin x = t. \begin{equation} -6t^{2}+5t-1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 6t^{2}-5t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4 \cdot 6 \cdot 1=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin x=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+\pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 2)2(1-\cos^{2}x)+7 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2-2 \cos^{2} x+7 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \cos^{2}x+7 \cos x+4=0. \end{equation} Заміна: cos x = t. \begin{equation} -2t^{2}+7t+4=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-7t-4=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-7)^{2}-4 \cdot 2 (-4)=81; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=9; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{7+9}{2 \cdot 2}=4; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{7-9}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: cos x = 4; коренів немає \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi -\arccos \frac{1}{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} 3)2 \cos^{2} x-1-1-4 \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-4 \cos x-2=0. \end{equation} Заміна cos x = t. \begin{equation} 2t^{2}-4t-2=0 \mid : 2; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D_{1}=(-1)^{2}-2 \cdot (-1)=2; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D_{1}}=\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1+\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=1-\sqrt{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=1+\sqrt{2}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( 1+\sqrt{2} > 1 \right ); \end{equation} \begin{equation} \cos x=1-\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 4)2 \cos x- \left ( 2 \cos^{2} x-1 \right )- \end{equation} \begin{equation} -\cos^{2}x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos x-2 \cos^{2} x+1- \end{equation} \begin{equation} -\cos^{2} x=0; \end{equation} \begin{equation} -3 \cos^{2} x+2 \cos x+1=0. \end{equation} Заміна cos x = t. \begin{equation} -3t^{2}+2t+1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-1)^{2}-4 \cdot 3 \cdot (-1)= \end{equation} \begin{equation} =4+12=16; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=4; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+4}{2 \cdot 3}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-4}{2 \cdot 3}=-\frac{1}{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=1; \end{equation} \begin{equation} x=2 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2 \pi n; \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 5) (1-2 \sin^{2}x)+\sin x=0; \end{equation} \begin{equation} -2\sin^{2}x+\sin x+1=0. \end{equation} Заміна sin x = t. \begin{equation} -2t^{2}+t+1=0 \mid : (-1): \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1-3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=1; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin =-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{2}++2 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+ \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 7)\cos \frac{x}{2}+ \left ( 2 \cos^{2}\frac{x}{2}-1 \right )=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-1=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-1-3}{2 \cdot 2}=-t; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-1+3}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=1; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=\pi + 2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=2\pi +4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}= \pm \frac{\pi}{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} 8)2 \cos^{2} x-1- \end{equation} \begin{equation} -4\sqrt{2} \cos x+4=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-4\sqrt{2} \cos x+3=0. \end{equation} Заміна:cos x = t. \begin{equation} 2t^{2}-4\sqrt{2}t+3=0; \end{equation} \begin{equation} D= \left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3=8; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3\sqrt{2}}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} > 1; \right ); \end{equation} \begin{equation} \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z. \end{equation}
\begin{equation} 1)6 \cos^{2}x+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} 6(1-\sin^{2}x)+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} 6-6 \sin^{2} x+5 \sin x-7=0; \end{equation} \begin{equation} -6 \sin^{2}x+5 \sin x=0. \end{equation} Заміна sin x = t. \begin{equation} -6t^{2}+5t-1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 6t^{2}-5t+1=0; \end{equation} \begin{equation} D=5^{2}-4 \cdot 6 \cdot 1=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{5-1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin x=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+\pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 2)2(1-\cos^{2}x)+7 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} 2-2 \cos^{2} x+7 \cos x+2=0; \end{equation} \begin{equation} -2 \cos^{2}x+7 \cos x+4=0. \end{equation} Заміна: cos x = t. \begin{equation} -2t^{2}+7t+4=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-7t-4=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-7)^{2}-4 \cdot 2 (-4)=81; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=9; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{7+9}{2 \cdot 2}=4; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{7-9}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: cos x = 4; коренів немає \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi -\arccos \frac{1}{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} 3)2 \cos^{2} x-1-1-4 \cos x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-4 \cos x-2=0. \end{equation} Заміна cos x = t. \begin{equation} 2t^{2}-4t-2=0 \mid : 2; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D_{1}=(-1)^{2}-2 \cdot (-1)=2; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D_{1}}=\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1+\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=1-\sqrt{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=1+\sqrt{2}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( 1+\sqrt{2} > 1 \right ); \end{equation} \begin{equation} \cos x=1-\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} 4)2 \cos x- \left ( 2 \cos^{2} x-1 \right )- \end{equation} \begin{equation} -\cos^{2}x=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos x-2 \cos^{2} x+1- \end{equation} \begin{equation} -\cos^{2} x=0; \end{equation} \begin{equation} -3 \cos^{2} x+2 \cos x+1=0. \end{equation} Заміна cos x = t. \begin{equation} -3t^{2}+2t+1=0 \mid : (-1); \end{equation} \begin{equation} 3t^{2}-2t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=(-1)^{2}-4 \cdot 3 \cdot (-1)= \end{equation} \begin{equation} =4+12=16; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=4; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2+4}{2 \cdot 3}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2-4}{2 \cdot 3}=-\frac{1}{3}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=1; \end{equation} \begin{equation} x=2 \pi n, n \in Z. \end{equation} \begin{equation} \cos x=-\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2 \pi n; \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 5) (1-2 \sin^{2}x)+\sin x=0; \end{equation} \begin{equation} -2\sin^{2}x+\sin x+1=0. \end{equation} Заміна sin x = t. \begin{equation} -2t^{2}+t+1=0 \mid : (-1): \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1-3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \sin x=1; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \sin =-\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+ \end{equation} \begin{equation} +\pi k, k \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\pi}{2}++2 \pi n; \end{equation} \begin{equation} (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+ \pi k, n, k \in Z. \end{equation} \begin{equation} 7)\cos \frac{x}{2}+ \left ( 2 \cos^{2}\frac{x}{2}-1 \right )=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-1=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=t. \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+t-1=0; \end{equation} \begin{equation} D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=3; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-1-3}{2 \cdot 2}=-t; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-1+3}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=1; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}=\pi + 2 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} x=2\pi +4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{x}{2}= \pm \frac{\pi}{3}+ \end{equation} \begin{equation} +2 \pi k, k \in Z; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi k, k \in Z; \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi n, n \in Z; \end{equation} \begin{equation} 8)2 \cos^{2} x-1- \end{equation} \begin{equation} -4\sqrt{2} \cos x+4=0; \end{equation} \begin{equation} 2 \cos^{2} x-4\sqrt{2} \cos x+3=0. \end{equation} Заміна:cos x = t. \begin{equation} 2t^{2}-4\sqrt{2}t+3=0; \end{equation} \begin{equation} D= \left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3=8; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2\sqrt{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3\sqrt{2}}{2}; \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation} Обернена заміна: \begin{equation} \cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2}; \end{equation} коренів немає \begin{equation} \left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} > 1; \right ); \end{equation} \begin{equation} \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{equation} \begin{equation} x= \pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z. \end{equation}