вправа 17.5 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 17.5
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
ГДЗ:
\begin{equation}
1)6 \cos^{2}x+5 \sin x-7=0;
\end{equation}
\begin{equation}
6(1-\sin^{2}x)+5 \sin x-7=0;
\end{equation}
\begin{equation}
6-6 \sin^{2} x+5 \sin x-7=0;
\end{equation}
\begin{equation}
-6 \sin^{2}x+5 \sin x=0.
\end{equation}
Заміна sin x = t.
\begin{equation}
-6t^{2}+5t-1=0 \mid : (-1);
\end{equation}
\begin{equation}
6t^{2}-5t+1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=5^{2}-4 \cdot 6 \cdot 1=1;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{5+1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{5-1}{2 \cdot 6}=\frac{1}{3}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\sin x=\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\sin x=\frac{1}{3};
\end{equation}
\begin{equation}
x=(-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+
\end{equation}
\begin{equation}
+\pi k, k \in Z;
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,
\end{equation}
\begin{equation}
(-1)^{k}\arcsin\frac{1}{3}+\pi k, n, k \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
2)2(1-\cos^{2}x)+7 \cos x+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2-2 \cos^{2} x+7 \cos x+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
-2 \cos^{2}x+7 \cos x+4=0.
\end{equation}
Заміна: cos x = t.
\begin{equation}
-2t^{2}+7t+4=0 \mid : (-1);
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}-7t-4=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=(-7)^{2}-4 \cdot 2 (-4)=81;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=9;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{7+9}{2 \cdot 2}=4;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{7-9}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.
\end{equation}
Обернена заміна: cos x = 4; коренів немає
\begin{equation}
\cos x=-\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \left ( \pi -\arccos \frac{1}{2} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
3)2 \cos^{2} x-1-1-4 \cos x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \cos^{2} x-4 \cos x-2=0.
\end{equation}
Заміна cos x = t.
\begin{equation}
2t^{2}-4t-2=0 \mid : 2;
\end{equation}
\begin{equation}
t^{2}-2t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D_{1}=(-1)^{2}-2 \cdot (-1)=2;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D_{1}}=\sqrt{2};
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=1+\sqrt{2};
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=1-\sqrt{2}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\cos x=1+\sqrt{2};
\end{equation}
коренів немає
\begin{equation}
\left ( 1+\sqrt{2} > 1 \right );
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x=1-\sqrt{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi n, n \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pm \arccos \left ( 1-\sqrt{2} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi n, n \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
4)2 \cos x- \left ( 2 \cos^{2} x-1 \right )-
\end{equation}
\begin{equation}
-\cos^{2}x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \cos x-2 \cos^{2} x+1-
\end{equation}
\begin{equation}
-\cos^{2} x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
-3 \cos^{2} x+2 \cos x+1=0.
\end{equation}
Заміна cos x = t.
\begin{equation}
-3t^{2}+2t+1=0 \mid : (-1);
\end{equation}
\begin{equation}
3t^{2}-2t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=(-1)^{2}-4 \cdot 3 \cdot (-1)=
\end{equation}
\begin{equation}
=4+12=16;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=4;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{2+4}{2 \cdot 3}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{2-4}{2 \cdot 3}=-\frac{1}{3}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\cos x=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x=2 \pi n, n \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x=-\frac{1}{3};
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi k, k \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
2 \pi n; \pm \left ( \pi - \arccos \frac{1}{3} \right )+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi k, n, k \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
5) (1-2 \sin^{2}x)+\sin x=0;
\end{equation}
\begin{equation}
-2\sin^{2}x+\sin x+1=0.
\end{equation}
Заміна sin x = t.
\begin{equation}
-2t^{2}+t+1=0 \mid : (-1):
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}-t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=3;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{1+3}{2 \cdot 2}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{1-3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\sin x=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\sin =-\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+
\end{equation}
\begin{equation}
+\pi k, k \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\frac{\pi}{2}++2 \pi n;
\end{equation}
\begin{equation}
(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+ \pi k, n, k \in Z.
\end{equation}
\begin{equation}
7)\cos \frac{x}{2}+ \left ( 2 \cos^{2}\frac{x}{2}-1 \right )=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \cos^{2} \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-1=0.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\cos \frac{x}{2}=t.
\end{equation}
\begin{equation}
2t^{2}+t-1=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D=1-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=3;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{-1-3}{2 \cdot 2}=-t;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{-1+3}{2 \cdot 2}=\frac{1}{2}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\cos \frac{x}{2}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x}{2}=\pi + 2 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x=2\pi +4 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x}{2}= \pm \frac{\pi}{3}+
\end{equation}
\begin{equation}
+2 \pi k, k \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi k, k \in Z;
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pm \frac{2\pi}{3}+4 \pi n, n \in Z;
\end{equation}
\begin{equation}
8)2 \cos^{2} x-1-
\end{equation}
\begin{equation}
-4\sqrt{2} \cos x+4=0;
\end{equation}
\begin{equation}
2 \cos^{2} x-4\sqrt{2} \cos x+3=0.
\end{equation}
Заміна:cos x = t.
\begin{equation}
2t^{2}-4\sqrt{2}t+3=0;
\end{equation}
\begin{equation}
D= \left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3=8;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{D}=2\sqrt{2};
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\frac{3\sqrt{2}}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
t_{2}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2 \cdot 2}=
\end{equation}
\begin{equation}
=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\end{equation}
Обернена заміна:
\begin{equation}
\cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2};
\end{equation}
коренів немає
\begin{equation}
\left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} > 1; \right );
\end{equation}
\begin{equation}
\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
x= \pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z.
\end{equation}
Відповідь:
\begin{equation}
\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi n, n \in Z.
\end{equation}
