вправа 24.1 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 24.1
Умова:
Умова:
Знайдіть найбільше і найменше значення функції f на вказаному проміжку.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)f(x)=3x^{2}-x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3 \cdot 2x-3x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =6x-3x^{2}=3x(2-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0; \end{equation} \begin{equation} 3x(2-x)=0; \end{equation} х = 0 або х = 2. \begin{equation} f(0)=3 \cdot 0-0=0; \end{equation} \begin{equation} f(2)=3 \cdot 2^{2}-2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =12-8=4; \end{equation} \begin{equation} f(-1)=3 \cdot (-1)^{2}-(-1)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =3+1=4; \end{equation} \begin{equation} f(3)=3 \cdot 3^{2}-3^{3}= \end{equation} \begin{equation} =27-27=0; \end{equation} \begin{equation} \underset{(-1;3)}{\max} f(x)=f(2)=f(-1)=4; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;8)}{\max} f(x)=f(0)=f(3)=0. \end{equation} \begin{equation} 2)f(x)=x^{4}-2x^{2}+5; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=4x^{3}-4x= \end{equation} \begin{equation} =4x(x^{2}-1)= \end{equation} \begin{equation} =4x(x-1)(x+1). \end{equation} \begin{equation} 4x(x-1)(x+1)=0 \end{equation} при \begin{equation} x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=-1. \end{equation} З цих критичних точок відрізку [0; 2] належать дві: 0 і 1. \begin{equation} f(0)=0^{4}-2 \cdot 0+5=5; \end{equation} \begin{equation} f(1)=1^{4}-2 \cdot 1+5= \end{equation} \begin{equation} =1-2+5=4; \end{equation} \begin{equation} f(2)=2^{3}-2 \cdot 2^{2}+5= \end{equation} \begin{equation} =16-8+5=13; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0; 2]}{\max} f(x)=f(2)=13; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;2]}{\max} f(x)=f(1)=4. \end{equation} \begin{equation} 3)f(x)=2x^{3}-9x^{2}-3; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=6x^{2}-18x=6x(x-3). \end{equation} \begin{equation} 6x(x-3)=0; \end{equation} х = 0 або х = 3. \begin{equation} f(-1)=2 \cdot (-1)^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot (-1)^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =-2-9-3=-14; \end{equation} \begin{equation} f(0)=-3; \end{equation} \begin{equation} f(3)=2 \cdot 3^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot 3^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =54-81-3=-30; \end{equation} \begin{equation} f(4)=2 \cdot 4^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot 4^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =128-144-2=-19; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;4]}{\max} f(x)=f(0)=-3; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;4]}{\max} f(x)=f(0)=-30. \end{equation} \begin{equation} 4) f(x)=\frac{x^{2}+8}{x-1}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{{(x^{2}+8)}'(x-1-)}{ \: } \end{equation} \begin{equation} \frac{-(x^{2}+8){(x-1)}'}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x(x-1)-(x^{2}+8)}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x^{2}-2x-x^{2}-8}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x^{2}-2x-8}{(x-1)^{2}}. \end{equation} f'(x) = 0 при х = 4 і х = -2,
f'(x) не існує при х = 1.
До відрізка [-3 ;0] належить тільки критична точка х = -2 \begin{equation} f(-2)=\frac{(-2)^{3}+8}{-2-1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4+8}{-3}=-4; \end{equation} \begin{equation} f(-3)=\frac{(-3)^{2}+8}{-3-1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{17}{-4}=-\frac{17}{4}; \end{equation} \begin{equation} f(0)=\frac{0+8}{0-1}=-8; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-3;0)}{\max} f(x)=f(-2)=-4; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-3;0]}{\min} f(x)=f(0)=-8. \end{equation}
\begin{equation} 1)f(x)=3x^{2}-x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3 \cdot 2x-3x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =6x-3x^{2}=3x(2-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0; \end{equation} \begin{equation} 3x(2-x)=0; \end{equation} х = 0 або х = 2. \begin{equation} f(0)=3 \cdot 0-0=0; \end{equation} \begin{equation} f(2)=3 \cdot 2^{2}-2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =12-8=4; \end{equation} \begin{equation} f(-1)=3 \cdot (-1)^{2}-(-1)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =3+1=4; \end{equation} \begin{equation} f(3)=3 \cdot 3^{2}-3^{3}= \end{equation} \begin{equation} =27-27=0; \end{equation} \begin{equation} \underset{(-1;3)}{\max} f(x)=f(2)=f(-1)=4; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-2;8)}{\max} f(x)=f(0)=f(3)=0. \end{equation} \begin{equation} 2)f(x)=x^{4}-2x^{2}+5; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=4x^{3}-4x= \end{equation} \begin{equation} =4x(x^{2}-1)= \end{equation} \begin{equation} =4x(x-1)(x+1). \end{equation} \begin{equation} 4x(x-1)(x+1)=0 \end{equation} при \begin{equation} x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3}=-1. \end{equation} З цих критичних точок відрізку [0; 2] належать дві: 0 і 1. \begin{equation} f(0)=0^{4}-2 \cdot 0+5=5; \end{equation} \begin{equation} f(1)=1^{4}-2 \cdot 1+5= \end{equation} \begin{equation} =1-2+5=4; \end{equation} \begin{equation} f(2)=2^{3}-2 \cdot 2^{2}+5= \end{equation} \begin{equation} =16-8+5=13; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0; 2]}{\max} f(x)=f(2)=13; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;2]}{\max} f(x)=f(1)=4. \end{equation} \begin{equation} 3)f(x)=2x^{3}-9x^{2}-3; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=6x^{2}-18x=6x(x-3). \end{equation} \begin{equation} 6x(x-3)=0; \end{equation} х = 0 або х = 3. \begin{equation} f(-1)=2 \cdot (-1)^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot (-1)^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =-2-9-3=-14; \end{equation} \begin{equation} f(0)=-3; \end{equation} \begin{equation} f(3)=2 \cdot 3^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot 3^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =54-81-3=-30; \end{equation} \begin{equation} f(4)=2 \cdot 4^{3}- \end{equation} \begin{equation} -9 \cdot 4^{2}-3= \end{equation} \begin{equation} =128-144-2=-19; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;4]}{\max} f(x)=f(0)=-3; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-1;4]}{\max} f(x)=f(0)=-30. \end{equation} \begin{equation} 4) f(x)=\frac{x^{2}+8}{x-1}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=\frac{{(x^{2}+8)}'(x-1-)}{ \: } \end{equation} \begin{equation} \frac{-(x^{2}+8){(x-1)}'}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x(x-1)-(x^{2}+8)}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2x^{2}-2x-x^{2}-8}{(x-1)^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{x^{2}-2x-8}{(x-1)^{2}}. \end{equation} f'(x) = 0 при х = 4 і х = -2,
f'(x) не існує при х = 1.
До відрізка [-3 ;0] належить тільки критична точка х = -2 \begin{equation} f(-2)=\frac{(-2)^{3}+8}{-2-1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4+8}{-3}=-4; \end{equation} \begin{equation} f(-3)=\frac{(-3)^{2}+8}{-3-1}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{17}{-4}=-\frac{17}{4}; \end{equation} \begin{equation} f(0)=\frac{0+8}{0-1}=-8; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-3;0)}{\max} f(x)=f(-2)=-4; \end{equation} \begin{equation} \underset{[-3;0]}{\min} f(x)=f(0)=-8. \end{equation}