вправа 24.4 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 24.4
Умова:
Умова:
Подайте число 12 у вигляді суми двох таких невід'ємних чисел, щоб добуток квадрата одного із цих чисел і подвоєного другого числа був найбільшим.
ГДЗ:
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 12 - x.
З умови випливає, що \begin{equation} 0 \leq x \leq 12. \end{equation} Розглянемо функцію \begin{equation} f(x)=2x^{3}(12-x) \end{equation} визначену на відрізку [0; 12] і знайдемо при якому значенні х вона набуває найбільшого значення. \begin{equation} f(x)=24x^{2}-2x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=48x-6x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =6x(8-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0. \end{equation} якщо x = 0 або x = 8.
Обидва знайдені числа належать проміжку [0; 12]. \begin{equation} f(0)=2 \cdot 0 \cdot (12-0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(12)=2 \cdot 12^{2} \cdot (12-1 \: 2)=0; \end{equation} \begin{equation} f(8)=2 \cdot 8^{3} \cdot (12-8)= \end{equation} \begin{equation} =2 \cdot 64 \cdot 4=512. \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;8]}{\max} f(x)=f(8)=512. \end{equation} Отже, перше число 8, тоді друге число -4.
Відповідь: 12 = 8 + 4.
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 12 - x.
З умови випливає, що \begin{equation} 0 \leq x \leq 12. \end{equation} Розглянемо функцію \begin{equation} f(x)=2x^{3}(12-x) \end{equation} визначену на відрізку [0; 12] і знайдемо при якому значенні х вона набуває найбільшого значення. \begin{equation} f(x)=24x^{2}-2x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=48x-6x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =6x(8-x). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0. \end{equation} якщо x = 0 або x = 8.
Обидва знайдені числа належать проміжку [0; 12]. \begin{equation} f(0)=2 \cdot 0 \cdot (12-0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(12)=2 \cdot 12^{2} \cdot (12-1 \: 2)=0; \end{equation} \begin{equation} f(8)=2 \cdot 8^{3} \cdot (12-8)= \end{equation} \begin{equation} =2 \cdot 64 \cdot 4=512. \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;8]}{\max} f(x)=f(8)=512. \end{equation} Отже, перше число 8, тоді друге число -4.
Відповідь: 12 = 8 + 4.