вправа 24.5 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 24.5
Умова:
Умова:
Подайте число 180 у вигляді суми трьох невід'ємних доданків так, щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох доданків був найбільшим.
ГДЗ:
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 2х,
а третє - (180 - 3x).
Розгляньмо функцію \begin{equation} f(x)=x \cdot 2x \cdot (180-3x), \end{equation} яка визначена на відрізку [0; 180] і знайдемо її найбільше значення на цьому відрізку. \begin{equation} f(x)=2x^{2}(180-3x); \end{equation} \begin{equation} f(x)=360x^{2}-6x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=720x-18x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =18x(40-x); \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при x = 0 і x = 40.
Обідві точки входять
до проміжку [0; 180]. \begin{equation} f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(180)=2 \cdot 180^{2} \cdot (180- \end{equation} \begin{equation} -3 \cdot 180) < 0; \end{equation} \begin{equation} f(40)=2 \cdot 40^{2} \cdot (180- \end{equation} \begin{equation} -3 \cdot 40)= \end{equation} \begin{equation} =3200 \cdot 60=192 \: 000; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;180]}{\max} f(x)=f(4)=192 \: 000. \end{equation} Отже перше число дорівнює 40, друге -80, а трете - 60.
Відповідь: 180 = 40 + 80 + 60.
Нехай перше число дорівнює х, тоді друге дорівнює 2х,
а третє - (180 - 3x).
Розгляньмо функцію \begin{equation} f(x)=x \cdot 2x \cdot (180-3x), \end{equation} яка визначена на відрізку [0; 180] і знайдемо її найбільше значення на цьому відрізку. \begin{equation} f(x)=2x^{2}(180-3x); \end{equation} \begin{equation} f(x)=360x^{2}-6x^{3}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=720x-18x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =18x(40-x); \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0 \end{equation} при x = 0 і x = 40.
Обідві точки входять
до проміжку [0; 180]. \begin{equation} f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} f(180)=2 \cdot 180^{2} \cdot (180- \end{equation} \begin{equation} -3 \cdot 180) < 0; \end{equation} \begin{equation} f(40)=2 \cdot 40^{2} \cdot (180- \end{equation} \begin{equation} -3 \cdot 40)= \end{equation} \begin{equation} =3200 \cdot 60=192 \: 000; \end{equation} \begin{equation} \underset{[0;180]}{\max} f(x)=f(4)=192 \: 000. \end{equation} Отже перше число дорівнює 40, друге -80, а трете - 60.
Відповідь: 180 = 40 + 80 + 60.