вправа 25.2 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 25.2
Умова:
Умова:
Дослідіть дану функцію та побудуйте її графік.
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} \mathbf{1)} f(x)=x^{3}+3x^{2}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=R. \end{equation} \begin{equation} f(-x)=(-x)^{3}+3 \cdot (-x)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-x^{3}+3x^{2}; \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq f(x); \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq - f(x). \end{equation} Функція f(x) є ні парною, ні непарною. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} x^{3}+3x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}(x+3)=0; \end{equation} x = 0, x = -3 - нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in (-3;0) \cup (0; +\infty ); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in (-\infty; -3 ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3x^{2}+6x= \end{equation} \begin{equation} =3x(x+2). \end{equation} f'(x) = 0 при x = 0 і x = -2 - критичні точки.
Складаємо таблицю, позначивши в ній проміжки, на які критичні точки розбивають область визначення, і дослідимо поведінку функції і похідної на кожному з них. \begin{equation} f(-2)=(-2)^{2}+3 \cdot (-2)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-8+12=4; \end{equation} \begin{equation} f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=6x+6=6(x+1); \end{equation} f''(x) = 0 при x = -1;
f''(x) < 0 при x < -1;
f''(x) > 0 при x > -1.
Отже, x = -1 - точка перегину.
На проміжку \begin{equation} \left ( -\infty; -1 \right ] \end{equation} функція опукла вгору, на \begin{equation} \left [ -1; + \infty \right )- \end{equation} опукла вниз.
Графік див. у відповідях. \begin{equation} \mathbf{2)} f(x)=4x-\frac{1}{3}x^{3}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=(- \infty; + \infty). \end{equation} \begin{equation} f(-x)=4 \cdot (-x)-\frac{1}{3} \cdot (-x)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-4x+x^{3}=f(x) \end{equation} функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} 4x-\frac{1}{3}x^{3}=0; \end{equation} \begin{equation} x \left ( 4-\frac{x^{2}}{3} \right )=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0, \\ \frac{x^{2}}{3}=4; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=0, \\ x^{2}=12; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0, \\ x= \pm 2\sqrt{3}. \end{bmatrix} \end{equation} Це нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in \left ( - \infty; -2\sqrt{3} \right ) \cup \left ( 0;2\sqrt{3} \right ); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in \left ( -2\sqrt{3}; 0 \right ) \cup \left ( 2\sqrt{3};+ \infty \right ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=4-x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(2-x)(2+x); \end{equation} f'(x) = 0 при x = -2 і x = 2. \begin{equation} f(-2)=4 \cdot (-2)-\frac{1}{3}(-2)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}; \end{equation} \begin{equation} f(2)=4 \cdot 2-\frac{1}{3} \cdot 2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =8+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}. \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=-2; x_{max}=2. \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=-2x; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \leq 0; {f}''(x) \leq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Отже, функція опукла вниз на проміжку \begin{equation} \left ( - \infty \right ] \end{equation} опукла вгору на \begin{equation} \left [ 0; + \infty \right ); \end{equation} x = 0 - точка перегину \begin{equation} \mathbf{3.}f(x)=x-x^{3}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=R. \end{equation} \begin{equation} f(-x)=(-x)-(-x)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-x+x^{3}=-f(x) \end{equation} функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} x-x^{3}=0; \end{equation} \begin{equation} x(1-x^{2})=0; \end{equation} \begin{equation} x(1-x)(1+x)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0,x=1,x=-1- \end{equation} нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in ( - \infty; -1 ) \cup (0;1); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in ( -1; 0 ) \cup (1;+ \infty). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=1-3x^{2}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0; \end{equation} \begin{equation} 1-3x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} 3x^{2}=1; \end{equation} \begin{equation} x^{2}=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\sqrt{3}}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{equation} - критичні точки. \begin{equation} f \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right )= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{3}}{3}-\left ( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-9\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{6\sqrt{3}}{27}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}; \end{equation} \begin{equation} f \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{3}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{6\sqrt{3}}{27}=\frac{2\sqrt{3}}{9}; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=-6; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) \geq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \leq 0; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) \leq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Функція опукла вниз при \begin{equation} x \in \left ( - \infty; 0 \right ], \end{equation} опукла вгору при \begin{equation} x \in \left [ 0; + \infty \right ); \end{equation} x = 0 - точка перегину.
Графік див. у відповідях.
\begin{equation} \mathbf{1)} f(x)=x^{3}+3x^{2}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=R. \end{equation} \begin{equation} f(-x)=(-x)^{3}+3 \cdot (-x)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-x^{3}+3x^{2}; \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq f(x); \end{equation} \begin{equation} f(-x) \neq - f(x). \end{equation} Функція f(x) є ні парною, ні непарною. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} x^{3}+3x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}(x+3)=0; \end{equation} x = 0, x = -3 - нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in (-3;0) \cup (0; +\infty ); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in (-\infty; -3 ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=3x^{2}+6x= \end{equation} \begin{equation} =3x(x+2). \end{equation} f'(x) = 0 при x = 0 і x = -2 - критичні точки.
Складаємо таблицю, позначивши в ній проміжки, на які критичні точки розбивають область визначення, і дослідимо поведінку функції і похідної на кожному з них. \begin{equation} f(-2)=(-2)^{2}+3 \cdot (-2)^{2}= \end{equation} \begin{equation} =-8+12=4; \end{equation} \begin{equation} f(0)=0; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=6x+6=6(x+1); \end{equation} f''(x) = 0 при x = -1;
f''(x) < 0 при x < -1;
f''(x) > 0 при x > -1.
Отже, x = -1 - точка перегину.
На проміжку \begin{equation} \left ( -\infty; -1 \right ] \end{equation} функція опукла вгору, на \begin{equation} \left [ -1; + \infty \right )- \end{equation} опукла вниз.
Графік див. у відповідях. \begin{equation} \mathbf{2)} f(x)=4x-\frac{1}{3}x^{3}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=(- \infty; + \infty). \end{equation} \begin{equation} f(-x)=4 \cdot (-x)-\frac{1}{3} \cdot (-x)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-4x+x^{3}=f(x) \end{equation} функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} 4x-\frac{1}{3}x^{3}=0; \end{equation} \begin{equation} x \left ( 4-\frac{x^{2}}{3} \right )=0; \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0, \\ \frac{x^{2}}{3}=4; \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x=0, \\ x^{2}=12; \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0, \\ x= \pm 2\sqrt{3}. \end{bmatrix} \end{equation} Це нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in \left ( - \infty; -2\sqrt{3} \right ) \cup \left ( 0;2\sqrt{3} \right ); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in \left ( -2\sqrt{3}; 0 \right ) \cup \left ( 2\sqrt{3};+ \infty \right ). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=4-x^{2}= \end{equation} \begin{equation} =(2-x)(2+x); \end{equation} f'(x) = 0 при x = -2 і x = 2. \begin{equation} f(-2)=4 \cdot (-2)-\frac{1}{3}(-2)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}; \end{equation} \begin{equation} f(2)=4 \cdot 2-\frac{1}{3} \cdot 2^{3}= \end{equation} \begin{equation} =8+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}. \end{equation} \begin{equation} x_{\min}=-2; x_{max}=2. \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=-2x; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \leq 0; {f}''(x) \leq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Отже, функція опукла вниз на проміжку \begin{equation} \left ( - \infty \right ] \end{equation} опукла вгору на \begin{equation} \left [ 0; + \infty \right ); \end{equation} x = 0 - точка перегину \begin{equation} \mathbf{3.}f(x)=x-x^{3}. \end{equation} \begin{equation} D(f)=R. \end{equation} \begin{equation} f(-x)=(-x)-(-x)^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-x+x^{3}=-f(x) \end{equation} функція непарна, її графік симетричний відносно початку координат. \begin{equation} f(x)=0, \end{equation} \begin{equation} x-x^{3}=0; \end{equation} \begin{equation} x(1-x^{2})=0; \end{equation} \begin{equation} x(1-x)(1+x)=0; \end{equation} \begin{equation} x=0,x=1,x=-1- \end{equation} нулі функції. \begin{equation} f(x) > 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in ( - \infty; -1 ) \cup (0;1); \end{equation} \begin{equation} f(x) < 0 \end{equation} при \begin{equation} x \in ( -1; 0 ) \cup (1;+ \infty). \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=1-3x^{2}; \end{equation} \begin{equation} {f}'(x)=0; \end{equation} \begin{equation} 1-3x^{2}=0; \end{equation} \begin{equation} 3x^{2}=1; \end{equation} \begin{equation} x^{2}=\frac{1}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=\frac{\sqrt{3}}{3}; \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{equation} - критичні точки. \begin{equation} f \left ( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right )= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{3}}{3}-\left ( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{3}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{-9\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{6\sqrt{3}}{27}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}; \end{equation} \begin{equation} f \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{3}-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{3}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{9\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{27}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{6\sqrt{3}}{27}=\frac{2\sqrt{3}}{9}; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x)=-6; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) \geq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \leq 0; \end{equation} \begin{equation} {f}''(x) \leq 0 \end{equation} при \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Функція опукла вниз при \begin{equation} x \in \left ( - \infty; 0 \right ], \end{equation} опукла вгору при \begin{equation} x \in \left [ 0; + \infty \right ); \end{equation} x = 0 - точка перегину.
Графік див. у відповідях.