вправа 7.10 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 7.10
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{x^{2}}-3=0; \end{equation} заміна \begin{equation} \sqrt[3]{x}=t \end{equation} \begin{equation} t+2t^{2}-3=0; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+t-3=0; \end{equation} \begin{equation} D=25; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-1,5; t_{2}=1. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1,5; \end{equation} \begin{equation} x=-3,375; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=1. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x=-3,3375; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{3,3375}+ \end{equation} \begin{equation} +2\sqrt[3]{(3,3375)^{2}}-3=0; \end{equation} \begin{equation} -1,5+4,5-3=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно; \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{1}+2\sqrt[3]{12}-3=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: -3,375; 1. \begin{equation} 2)\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-6=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[4]{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}= \left ( \sqrt[4]{x} \right )^{2}=-t^{2}; \end{equation} \begin{equation} t^{2}+t-6=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-3; t_{2}=2. \end{equation} -3 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x}=2; \end{equation} \begin{equation} x=16. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} \sqrt{16}+\sqrt[4]{16}-6=0; \end{equation} \begin{equation} 4+2-6=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: 16. \begin{equation} 3)2x-7\sqrt{x}-15=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x= \left ( \sqrt{x} \right )^{2}=t^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-7t-15=0; \end{equation} \begin{equation} D=189; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-1,5; t_{2}=5. \end{equation} -1,5 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}=5; \end{equation} \begin{equation} x=25. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} 2 \cdot 25-7\sqrt{25}-15=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: 25. \begin{equation} 4)2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}} \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x+1}=t, \end{equation} \begin{equation} t > 0. \end{equation} \begin{equation} 2t-5=\frac{3}{t}; \end{equation} \begin{equation} \frac{2t^{2}-5t-3}{t}=0; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}=5t-3=0; \end{equation} \begin{equation} D=49; \end{equation} \begin{equation} t_{1,2}=\frac{5 \pm 7}{4}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3; t_{2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} \begin{equation} -\frac{1}{2} \end{equation} не задовільняє умову t > 0. \begin{equation} \sqrt{x+1}=3; \end{equation} \begin{equation} x+1=9; \end{equation} \begin{equation} x=8. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} 2\sqrt{8+1}-5=\frac{3}{\sqrt{8+1}}; \end{equation} 1 = 1 - правильно;
Відповідь: 8.
\begin{equation} 1)\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{x^{2}}-3=0; \end{equation} заміна \begin{equation} \sqrt[3]{x}=t \end{equation} \begin{equation} t+2t^{2}-3=0; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}+t-3=0; \end{equation} \begin{equation} D=25; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-1,5; t_{2}=1. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1,5; \end{equation} \begin{equation} x=-3,375; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=1. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x=-3,3375; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{3,3375}+ \end{equation} \begin{equation} +2\sqrt[3]{(3,3375)^{2}}-3=0; \end{equation} \begin{equation} -1,5+4,5-3=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно; \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{1}+2\sqrt[3]{12}-3=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: -3,375; 1. \begin{equation} 2)\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}-6=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[4]{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}= \left ( \sqrt[4]{x} \right )^{2}=-t^{2}; \end{equation} \begin{equation} t^{2}+t-6=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-3; t_{2}=2. \end{equation} -3 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x}=2; \end{equation} \begin{equation} x=16. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} \sqrt{16}+\sqrt[4]{16}-6=0; \end{equation} \begin{equation} 4+2-6=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: 16. \begin{equation} 3)2x-7\sqrt{x}-15=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x= \left ( \sqrt{x} \right )^{2}=t^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}-7t-15=0; \end{equation} \begin{equation} D=189; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-1,5; t_{2}=5. \end{equation} -1,5 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}=5; \end{equation} \begin{equation} x=25. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} 2 \cdot 25-7\sqrt{25}-15=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: 25. \begin{equation} 4)2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}} \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x+1}=t, \end{equation} \begin{equation} t > 0. \end{equation} \begin{equation} 2t-5=\frac{3}{t}; \end{equation} \begin{equation} \frac{2t^{2}-5t-3}{t}=0; \end{equation} \begin{equation} 2t^{2}=5t-3=0; \end{equation} \begin{equation} D=49; \end{equation} \begin{equation} t_{1,2}=\frac{5 \pm 7}{4}; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3; t_{2}=-\frac{1}{2}. \end{equation} \begin{equation} -\frac{1}{2} \end{equation} не задовільняє умову t > 0. \begin{equation} \sqrt{x+1}=3; \end{equation} \begin{equation} x+1=9; \end{equation} \begin{equation} x=8. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} 2\sqrt{8+1}-5=\frac{3}{\sqrt{8+1}}; \end{equation} 1 = 1 - правильно;
Відповідь: 8.