вправа 7.11 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 7.11
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної.
ГДЗ:
\begin{equation}
1)x-\sqrt{x}-12=0;
\end{equation}
ОДЗ:
\begin{equation}
x \geq 0.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\sqrt{x}=t;
\end{equation}
\begin{equation}
t \geq 0.
\end{equation}
\begin{equation}
t^{2}-t-12=0;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}-3; t_{2}=4.
\end{equation}
-3 - не задовільняє умову
\begin{equation}
t \geq 0;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{x}=4;
\end{equation}
\begin{equation}
x=16.
\end{equation}
Відповідь: 16.
\begin{equation}
2)\sqrt[3]{x^{2}}+8=9\sqrt[3]{x};
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt[3]{x^{2}}-9\sqrt[3]{x}+8=0.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\sqrt[3]{x}=t;
\end{equation}
\begin{equation}
t^{2}-9t+8=0;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=1; t_{2}=8.
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt[3]{x}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x=1;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt[3]{x}=8;
\end{equation}
\begin{equation}
x=512.
\end{equation}
Відповідь: 1; 512.
\begin{equation}
3)\sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0;
\end{equation}
ОДЗ:
\begin{equation}
x+5 \geq 0;
\end{equation}
\begin{equation}
x \geq -5.
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\sqrt[4]{x+5}=t,
\end{equation}
\begin{equation}
t \geq 0;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{x+5}=t^{2}.
\end{equation}
\begin{equation}
t^{2}-3t+2=0;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=1; t_{2}=2;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt[4]{x+5}=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x+5=1;
\end{equation}
\begin{equation}
x=-4;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt[4]{x+5}=2;
\end{equation}
\begin{equation}
x+5=16;
\end{equation}
\begin{equation}
x=11.
\end{equation}
Відповідь: -4; 11.
\begin{equation}
4)\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2,5;
\end{equation}
ОДЗ:
\begin{equation}
\frac{3x+2}{2x-3} > 0;
\end{equation}
\begin{equation}
x \in \left ( - \infty; -\frac{2}{3} \right ) \cup (1,5; + \infty ).
\end{equation}
Заміна:
\begin{equation}
\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=t;
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac{1}{t};
\end{equation}
\begin{equation}
t > 0.
\end{equation}
\begin{equation}
t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{t^{2}-5t+2}{t}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
t^{2}-5t+2=0, \\
t \neq 0;
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
D=9;
\end{equation}
\begin{equation}
t_{1}=\frac{1}{2}; t_{2}=2.
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac{1}{2};
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3x+2}{2x-3}-\frac{1}{4}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{12x+8-2x+3}{2x-3}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{10x+11}{2x-3}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x=-1,1, \\
x \neq 1,5.
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3x+2}{2x-3}-4=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{3x+2-8x+12}{2x-3}=0;
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{-5x+14}{2x-3}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
5x+14=0, \\
2x-3 \neq 0;
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x=2,8 \\
x \neq 1,5
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Відповідь: -1,1; 2,8.
