вправа 7.11 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 7.11
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)x-\sqrt{x}-12=0; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-t-12=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}-3; t_{2}=4. \end{equation} -3 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}=4; \end{equation} \begin{equation} x=16. \end{equation} Відповідь: 16. \begin{equation} 2)\sqrt[3]{x^{2}}+8=9\sqrt[3]{x}; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x^{2}}-9\sqrt[3]{x}+8=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[3]{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-9t+8=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1; t_{2}=8. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=8; \end{equation} \begin{equation} x=512. \end{equation} Відповідь: 1; 512. \begin{equation} 3)\sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} x+5 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x \geq -5. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x+5}=t^{2}. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-3t+2=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1; t_{2}=2; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=1; \end{equation} \begin{equation} x+5=1; \end{equation} \begin{equation} x=-4; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=2; \end{equation} \begin{equation} x+5=16; \end{equation} \begin{equation} x=11. \end{equation} Відповідь: -4; 11. \begin{equation} 4)\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2,5; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3} > 0; \end{equation} \begin{equation} x \in \left ( - \infty; -\frac{2}{3} \right ) \cup (1,5; + \infty ). \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=t; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac{1}{t}; \end{equation} \begin{equation} t > 0. \end{equation} \begin{equation} t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-5t+2}{t}=0; \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} t^{2}-5t+2=0, \\ t \neq 0; \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} D=9; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1}{2}; t_{2}=2. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3}-\frac{1}{4}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{12x+8-2x+3}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{10x+11}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-1,1, \\ x \neq 1,5. \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3}-4=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2-8x+12}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{-5x+14}{2x-3} \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 5x+14=0, \\ 2x-3 \neq 0; \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2,8 \\ x \neq 1,5 \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: -1,1; 2,8.
\begin{equation} 1)x-\sqrt{x}-12=0; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} x \geq 0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-t-12=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}-3; t_{2}=4. \end{equation} -3 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x}=4; \end{equation} \begin{equation} x=16. \end{equation} Відповідь: 16. \begin{equation} 2)\sqrt[3]{x^{2}}+8=9\sqrt[3]{x}; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x^{2}}-9\sqrt[3]{x}+8=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[3]{x}=t; \end{equation} \begin{equation} t^{2}-9t+8=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1; t_{2}=8. \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=1; \end{equation} \begin{equation} x=1; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[3]{x}=8; \end{equation} \begin{equation} x=512. \end{equation} Відповідь: 1; 512. \begin{equation} 3)\sqrt{x+5}-3\sqrt[4]{x+5}+2=0; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} x+5 \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x \geq -5. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x+5}=t^{2}. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-3t+2=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=1; t_{2}=2; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=1; \end{equation} \begin{equation} x+5=1; \end{equation} \begin{equation} x=-4; \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{x+5}=2; \end{equation} \begin{equation} x+5=16; \end{equation} \begin{equation} x=11. \end{equation} Відповідь: -4; 11. \begin{equation} 4)\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}+\sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=2,5; \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3} > 0; \end{equation} \begin{equation} x \in \left ( - \infty; -\frac{2}{3} \right ) \cup (1,5; + \infty ). \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=t; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}}=\frac{1}{t}; \end{equation} \begin{equation} t > 0. \end{equation} \begin{equation} t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-5t+2}{t}=0; \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} t^{2}-5t+2=0, \\ t \neq 0; \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} D=9; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1}{2}; t_{2}=2. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=\frac{1}{2}; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3}-\frac{1}{4}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{12x+8-2x+3}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{10x+11}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-1,1, \\ x \neq 1,5. \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}=2; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2}{2x-3}-4=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{3x+2-8x+12}{2x-3}=0; \end{equation} \begin{equation} \frac{-5x+14}{2x-3} \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 5x+14=0, \\ 2x-3 \neq 0; \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2,8 \\ x \neq 1,5 \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: -1,1; 2,8.