вправа 7.18 гдз 10 клас математика Мерзляк Номіровський 2018
Вправа 7.18
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної.
ГДЗ:
\begin{equation} 1)x^{2}-4x- \end{equation} \begin{equation} -3\sqrt{x^{2}-4x+20}+10=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} 3\sqrt{x^{2}-4x+20}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-3t-10=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-2; t_{2}=5; \end{equation} -2 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}-4x+20}=5; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x+20=25; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x-5=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-2; x_{2}=5. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=-1; \end{equation} 0 = 0 - правильно; \begin{equation} x_{2}=5; \end{equation} \begin{equation} 25-4 \cdot 5- \end{equation} \begin{equation} -3\sqrt{25-4 \cdot 5+20}+10=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: -1; 5. \begin{equation} 2)2\sqrt{x^{2}-3x+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3x-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{x^{2}-3x+11}= \end{equation} \begin{equation} =-(x^{2}-3x+11)+15. \end{equation} Заміна \begin{equation} \sqrt{x^{2}-3x+11}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} 2t=-t^{2}+15; \end{equation} \begin{equation} t^{2}+2t-15=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-5; t_{2}=3 \end{equation} -5 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}-3x+11}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x+11=9; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x+2=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=1; x_{2}=2. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=1; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{1^{2}-3 \cdot 1+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3 \cdot 1-1^{2}; \end{equation} 6 = 6 - правильно; \begin{equation} x_{2}=2; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{2^{2}-3 \cdot 2+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3 \cdot 2-2^{2}; \end{equation} 6 = 6 - правильно. \begin{equation} 3)5x^{2}+10x+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{x^{2}+2x-15}=123. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x^{2}+2x-15}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-2x-15=t^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x=t^{2}+15; \end{equation} \begin{equation} 5x^{2}+10x=5t^{2}+75; \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+75+t-123=0; \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+t-48=0; \end{equation} \begin{equation} D=961; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3; t_{2}=-3,2. \end{equation} -3,2 - не задовільняє \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}+2x-15}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-15=9; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-24=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-6; x_{2}=4. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=-6; \end{equation} \begin{equation} 5 \cdot (-6)^{2}+10 \cdot (-6)+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{(-6)^{2}+2(-6)-15}= \end{equation} \begin{equation} =123; \end{equation} 123 = 123 - правильно; \begin{equation} x_{2}=4; \end{equation} \begin{equation} 5 \cdot 4^{2}+10 \cdot 4+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{4^{2}+2 \cdot 4-15}=123; \end{equation} 123 = 123 - правильно.
Відповідь: -6; 4.
\begin{equation} 1)x^{2}-4x- \end{equation} \begin{equation} -3\sqrt{x^{2}-4x+20}+10=0. \end{equation} Заміна: \begin{equation} 3\sqrt{x^{2}-4x+20}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} t^{2}-3t-10=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-2; t_{2}=5; \end{equation} -2 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}-4x+20}=5; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x+20=25; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-4x-5=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-2; x_{2}=5. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=-1; \end{equation} 0 = 0 - правильно; \begin{equation} x_{2}=5; \end{equation} \begin{equation} 25-4 \cdot 5- \end{equation} \begin{equation} -3\sqrt{25-4 \cdot 5+20}+10=0; \end{equation} 0 = 0 - правильно;
Відповідь: -1; 5. \begin{equation} 2)2\sqrt{x^{2}-3x+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3x-x^{2}; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{x^{2}-3x+11}= \end{equation} \begin{equation} =-(x^{2}-3x+11)+15. \end{equation} Заміна \begin{equation} \sqrt{x^{2}-3x+11}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} 2t=-t^{2}+15; \end{equation} \begin{equation} t^{2}+2t-15=0; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=-5; t_{2}=3 \end{equation} -5 - не задовільняє умову \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}-3x+11}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x+11=9; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-3x+2=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=1; x_{2}=2. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=1; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{1^{2}-3 \cdot 1+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3 \cdot 1-1^{2}; \end{equation} 6 = 6 - правильно; \begin{equation} x_{2}=2; \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{2^{2}-3 \cdot 2+11}= \end{equation} \begin{equation} =4+3 \cdot 2-2^{2}; \end{equation} 6 = 6 - правильно. \begin{equation} 3)5x^{2}+10x+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{x^{2}+2x-15}=123. \end{equation} Заміна: \begin{equation} \sqrt{x^{2}+2x-15}=t, \end{equation} \begin{equation} t \geq 0; \end{equation} \begin{equation} x^{2}-2x-15=t^{2}; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x=t^{2}+15; \end{equation} \begin{equation} 5x^{2}+10x=5t^{2}+75; \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+75+t-123=0; \end{equation} \begin{equation} 5t^{2}+t-48=0; \end{equation} \begin{equation} D=961; \end{equation} \begin{equation} t_{1}=3; t_{2}=-3,2. \end{equation} -3,2 - не задовільняє \begin{equation} t \geq 0. \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x^{2}+2x-15}=3; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-15=9; \end{equation} \begin{equation} x^{2}+2x-24=0; \end{equation} \begin{equation} x_{1}=-6; x_{2}=4. \end{equation} Перевірка: \begin{equation} x_{1}=-6; \end{equation} \begin{equation} 5 \cdot (-6)^{2}+10 \cdot (-6)+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{(-6)^{2}+2(-6)-15}= \end{equation} \begin{equation} =123; \end{equation} 123 = 123 - правильно; \begin{equation} x_{2}=4; \end{equation} \begin{equation} 5 \cdot 4^{2}+10 \cdot 4+ \end{equation} \begin{equation} +\sqrt{4^{2}+2 \cdot 4-15}=123; \end{equation} 123 = 123 - правильно.
Відповідь: -6; 4.