вправа 15.19 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 15.19
Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2 і у = -3х;
2) у = х2 - 3 і у = 2х;
3) у = 4 - х2 і у = 3;
4) у = 2х2 і у = х + 1;
5) у = х2 і у = 8 - х2;
6) у = х2 - 3х, у = 4 і х = 0 за умови, що х ≤ 0.
1) у = х2 і у = -3х;
2) у = х2 - 3 і у = 2х;
3) у = 4 - х2 і у = 3;
4) у = 2х2 і у = х + 1;
5) у = х2 і у = 8 - х2;
6) у = х2 - 3х, у = 4 і х = 0 за умови, що х ≤ 0.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) у = х2, у = -3х, Sф - ?
знайдемо абсциси точок перетину заданих ліній:
х2 = -3х
х2 + 3х = 0
х(х + 3) = 0
0 0
Sф = ∫ -3хdx - ∫ х2dx =
-3 -3
0 0
= - 3х2/2 | - х3/3 | =
-3 -3
= + (3•(-3)2) : 2 + (3)3 : 3 =
= 27/2 + (-27/2) = 13,5 - 9 = 4,5
Sф = 4,5;
✔ 2) у = х2 - 3, у = 2х
абсциси точок перетину заданих ліній знаходимо з графіка
або розв'язуємо рівняння: х2 - 3 = 2х
а = -1, b = 3
3 3
Sф = ∫ 2хdx - ∫ (х2 - 3)dx =
-1 -1
3 3 3
= 2х2/2 | - х3/3 | + 3х | =
-1 -1 -1
= 32 - (-1)2 - 33/3 + (-1)3/3 +
+ 3 • 3 - 3 • (-1) = 9 - 1 - 27/3 -
- 1/3 + 9 - 3 = 9 - 1 - 9 - 1/3 +
+ 9 + 3 = 12 - 1 1/3 = 10 2/3
Sф = 10 2/3;
✔ 3) у = 4 - х2, у = 3
знаходимо абсциси точок перетину заданих ліній:
4 - х2 = 3
х2 = 1, х1 = -1, х2 = 1
1
Sф = ∫ (4 - х2)dx =
-1
1 1
= ∫ 4dx - ∫ х2dx =
-1 -1
1 1
= 4х | - х3/3 | =
-1 -1
= 4 • 1 - 4 • (-1) - 1/3 + (-1)/3 =
= 4 + 4 - 1/3 - 1/3 = 8 - 2/3 = 7 1/3
Sф = 7 1/3;
✔ 4) у = 2х2, у = х + 1, Sф - ?
абсциси точок перетину заданих ліній:
2х2 = х + 1
2х2 - х - 1 = 0
Д = (-1)2 - 4 • 2 • (-1) = 9
х1;2 = (1±3) : 4 = - 1/2; 1
1 1
Sф = ∫ (х + 1)dx - ∫ 2х2dx =
-0,5 -0,5
1 1 1
= х2/2 | + х | - 2х3/3 | =
-0,5 -0,5 -0,5
= 1/2 - (-0,5)2/2 + 1 - (-0,5) -
- 2/3 + (2•(-0,5)3) : 3 =
знайдемо абсциси точок перетину заданих ліній:
х2 = -3х
х2 + 3х = 0
х(х + 3) = 0
0 0
Sф = ∫ -3хdx - ∫ х2dx =
-3 -3
0 0
= - 3х2/2 | - х3/3 | =
-3 -3
= + (3•(-3)2) : 2 + (3)3 : 3 =
= 27/2 + (-27/2) = 13,5 - 9 = 4,5
Sф = 4,5;
✔ 2) у = х2 - 3, у = 2х
абсциси точок перетину заданих ліній знаходимо з графіка
або розв'язуємо рівняння: х2 - 3 = 2х
а = -1, b = 3
3 3
Sф = ∫ 2хdx - ∫ (х2 - 3)dx =
-1 -1
3 3 3
= 2х2/2 | - х3/3 | + 3х | =
-1 -1 -1
= 32 - (-1)2 - 33/3 + (-1)3/3 +
+ 3 • 3 - 3 • (-1) = 9 - 1 - 27/3 -
- 1/3 + 9 - 3 = 9 - 1 - 9 - 1/3 +
+ 9 + 3 = 12 - 1 1/3 = 10 2/3
Sф = 10 2/3;
✔ 3) у = 4 - х2, у = 3
знаходимо абсциси точок перетину заданих ліній:
4 - х2 = 3
х2 = 1, х1 = -1, х2 = 1
1
Sф = ∫ (4 - х2)dx =
-1
1 1
= ∫ 4dx - ∫ х2dx =
-1 -1
1 1
= 4х | - х3/3 | =
-1 -1
= 4 • 1 - 4 • (-1) - 1/3 + (-1)/3 =
= 4 + 4 - 1/3 - 1/3 = 8 - 2/3 = 7 1/3
Sф = 7 1/3;
✔ 4) у = 2х2, у = х + 1, Sф - ?
абсциси точок перетину заданих ліній:
2х2 = х + 1
2х2 - х - 1 = 0
Д = (-1)2 - 4 • 2 • (-1) = 9
х1;2 = (1±3) : 4 = - 1/2; 1
1 1
Sф = ∫ (х + 1)dx - ∫ 2х2dx =
-0,5 -0,5
1 1 1
= х2/2 | + х | - 2х3/3 | =
-0,5 -0,5 -0,5
= 1/2 - (-0,5)2/2 + 1 - (-0,5) -
- 2/3 + (2•(-0,5)3) : 3 =
= 0,5 - 0,125 + 1 + 0,5 -
- 2/3 + (-1/12) =
= 2 - (1/8 + 2/3 + 1/12) =
= 2 - 21/24 = 1 3/24
Sф = 1 3/24;
✔ 5) у = х2, у = 8 - х2
абсциси точок перетину заданих ліній:
х1 = -2, х2 = 2
2 2
Sф = ∫ (8 - х2)dx - ∫ х2dx =
-2 -2
2 2 2
= ∫ 8dx - ∫ х2dx - ∫ х2dx =
-2 -2 -2
2 2
= ∫ 8dx - 2∫х2dx =
-2 -2
2 2
= 8х | - 2х3/3 | =
-2 -2
= 8 • 2 - 8 • (-2) - (2•23)/3 + (2•(-2)3)/3 =
= 16 + 16 - 16/3 - 16/3 =
= 32 - 32/3 = 32 - 10 2/3 =
= 31 3/3 - 10 2/3 = 20 1/3
Sф = 20 1/3;
✔ 6) у = х2 - 3х, у = 4, х = 0, якщо х ≤ 0
знаходимо абсциси точок перетину заданих ліній
х2 - 3х = 4
х2 - 3х - 4 = 0
Д = 25
х1;2 = (3±5) : 2 = 4; -1
0
Sф = ∫ (х2 - 3х)dx =
-1
0 0
= ∫ х2dx - ∫ 3хdx =
-1 -1
0 0
= х3/3 | - 3х2/2 | =
-1 -1
= 0 - (-1)/3 - 0 + (3•(-1)2) : 2 =
= 1/3 + 3/2 = (2+9)/6 = 11 /6 = 1 5/6
Sф = 1 5/6.
- 2/3 + (-1/12) =
= 2 - (1/8 + 2/3 + 1/12) =
= 2 - 21/24 = 1 3/24
Sф = 1 3/24;
✔ 5) у = х2, у = 8 - х2
абсциси точок перетину заданих ліній:
х1 = -2, х2 = 2
2 2
Sф = ∫ (8 - х2)dx - ∫ х2dx =
-2 -2
2 2 2
= ∫ 8dx - ∫ х2dx - ∫ х2dx =
-2 -2 -2
2 2
= ∫ 8dx - 2∫х2dx =
-2 -2
2 2
= 8х | - 2х3/3 | =
-2 -2
= 8 • 2 - 8 • (-2) - (2•23)/3 + (2•(-2)3)/3 =
= 16 + 16 - 16/3 - 16/3 =
= 32 - 32/3 = 32 - 10 2/3 =
= 31 3/3 - 10 2/3 = 20 1/3
Sф = 20 1/3;
✔ 6) у = х2 - 3х, у = 4, х = 0, якщо х ≤ 0
знаходимо абсциси точок перетину заданих ліній
х2 - 3х = 4
х2 - 3х - 4 = 0
Д = 25
х1;2 = (3±5) : 2 = 4; -1
0
Sф = ∫ (х2 - 3х)dx =
-1
0 0
= ∫ х2dx - ∫ 3хdx =
-1 -1
0 0
= х3/3 | - 3х2/2 | =
-1 -1
= 0 - (-1)/3 - 0 + (3•(-1)2) : 2 =
= 1/3 + 3/2 = (2+9)/6 = 11 /6 = 1 5/6
Sф = 1 5/6.