вправа 15.21 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 15.21
Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = 4 - x2 і у = x + 2;
2) у = (х - 2)2 і у = х - 1;
3) у = х2 - 1 і у -2х = 2;
4) у = х2 + 4х і прямою, проходить через точки (0; 0) і (2; 8).
1) у = 4 - x2 і у = x + 2;
2) у = (х - 2)2 і у = х - 1;
3) у = х2 - 1 і у -2х = 2;
4) у = х2 + 4х і прямою, проходить через точки (0; 0) і (2; 8).
Умова:
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) у = 4 - х2,у = х + 2
Sф - ?
абсциси точок перетину заданих ліній:
4 - х2 = х + 2
х2 + х + 2 - 4 = 0
х2 + х - 2 = 0
Д = 9
х1;2 = -2; 1
1 1
Sф = ∫(4 - х2)dx - ∫(х + 2)dx =
-2 -2
1 1 1 1
= ∫4dx - ∫х2dx - ∫хdx - ∫2dx =
-2 -2 -2 -2
1 1 1
= ∫2dx - ∫х2dx - ∫хdx =
-2 -2 -2
1 1 1
= 2х | - х3/3 | - х2/2 | =
-2 -2 -2
= 2 • 1 - 2 • (-2) - 1/3 +
+ (-2)3/3 - 1/2 + (-2)2/2 =
= 2 + 4 - 1/3 - 8/3 - 1/2 + 2 =
= 6 - 3 - 0,5 + 2 = 8 - 3,5 = 4,5
Sф = 4,5;
✔ 2) у = (х - 2)2, у = х - 1
абсциси точок перетину заданих ліній:
(х - 2)2 = х - 1
х2 - 4х + 4 - х + 1 = 0
х2 - 5х + 5 = 0
Д = (-5)2 - 45 = 5
х1;2 = (5±√5) : 2
х1 = 1,4, х2 = 3,6
3,6 3,6
Sф = ∫(х - 1)dx - ∫(х2 - 4х + 4)dx =
1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= ∫хdx - ∫dx - ∫х2dx +
1,4 1,4 1,4
3,6 3,6
+ ∫4хdx - ∫4dx =
1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= ∫5хdx - ∫5dx - ∫х2dx =
1,4 1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= 5х2/2 | - 5х | - х3/3 | =
1,4 1,4 1,4
= (5•3,62)/2 - 5/2 • 1,42 - 5 • 3,6 +
+ 5 • 1,4 - 3,63/3 + (1,4)3/3 =
= 32,4 - 4,9 - 18 + 7 - 15,552 + 0,92 =
= 40,32 - 33,552 = 6,768
Sф = 6,768;
✔ 3) у = х2 - 1, у = 2 + 2х
абсциси точок перетину:
х1 = -1, х2 = 3
3 3
Sф = ∫(2 + 2х)dx - ∫(х2 - 1)dx =
-1 -1
3 3 3 3
= ∫2dx + ∫2хdx - ∫х2dx + ∫dx =
1 1 1 1
3 3 3
= ∫3dx + ∫2хdx - ∫х2dx =
1 1 1
3 3 3
= 3х | + 2х2/2 | - х3/3| =
1 1 1
= 3 • 3 - 3 • (-1) + 32 - (-1)2 - 33/3 + (-1)/3 =
= 9 + 3 + 9 - 1 - 9 - 1/3 =
= 12 - 1 1/3 = 11 3/3 - 1 1/3 = 10 2/3
Sф = 10 2/3;
✔ 4) у = х2 + 4х
пряма (0; 0) (2; 8)
рівняння прямої, яка проходить через 2 точки: у = 4х
абсциси точок перетину прямих
х2 + 4х = 4х
х2 = 0 х = 0
рівняння прямої:
(х-х1) : (х2-х1) = (у-у1) : (у2-у1)
(у-0) : (8-0) = (х-0) : (2-0)
у/8 = х/2
2у = 4х
у = 4х
Sф = 0.
Sф - ?
абсциси точок перетину заданих ліній:
4 - х2 = х + 2
х2 + х + 2 - 4 = 0
х2 + х - 2 = 0
Д = 9
х1;2 = -2; 1
1 1
Sф = ∫(4 - х2)dx - ∫(х + 2)dx =
-2 -2
1 1 1 1
= ∫4dx - ∫х2dx - ∫хdx - ∫2dx =
-2 -2 -2 -2
1 1 1
= ∫2dx - ∫х2dx - ∫хdx =
-2 -2 -2
1 1 1
= 2х | - х3/3 | - х2/2 | =
-2 -2 -2
= 2 • 1 - 2 • (-2) - 1/3 +
+ (-2)3/3 - 1/2 + (-2)2/2 =
= 2 + 4 - 1/3 - 8/3 - 1/2 + 2 =
= 6 - 3 - 0,5 + 2 = 8 - 3,5 = 4,5
Sф = 4,5;
✔ 2) у = (х - 2)2, у = х - 1
абсциси точок перетину заданих ліній:
(х - 2)2 = х - 1
х2 - 4х + 4 - х + 1 = 0
х2 - 5х + 5 = 0
Д = (-5)2 - 45 = 5
х1;2 = (5±√5) : 2
х1 = 1,4, х2 = 3,6
3,6 3,6
Sф = ∫(х - 1)dx - ∫(х2 - 4х + 4)dx =
1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= ∫хdx - ∫dx - ∫х2dx +
1,4 1,4 1,4
3,6 3,6
+ ∫4хdx - ∫4dx =
1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= ∫5хdx - ∫5dx - ∫х2dx =
1,4 1,4 1,4
3,6 3,6 3,6
= 5х2/2 | - 5х | - х3/3 | =
1,4 1,4 1,4
= (5•3,62)/2 - 5/2 • 1,42 - 5 • 3,6 +
+ 5 • 1,4 - 3,63/3 + (1,4)3/3 =
= 32,4 - 4,9 - 18 + 7 - 15,552 + 0,92 =
= 40,32 - 33,552 = 6,768
Sф = 6,768;
✔ 3) у = х2 - 1, у = 2 + 2х
абсциси точок перетину:
х1 = -1, х2 = 3
3 3
Sф = ∫(2 + 2х)dx - ∫(х2 - 1)dx =
-1 -1
3 3 3 3
= ∫2dx + ∫2хdx - ∫х2dx + ∫dx =
1 1 1 1
3 3 3
= ∫3dx + ∫2хdx - ∫х2dx =
1 1 1
3 3 3
= 3х | + 2х2/2 | - х3/3| =
1 1 1
= 3 • 3 - 3 • (-1) + 32 - (-1)2 - 33/3 + (-1)/3 =
= 9 + 3 + 9 - 1 - 9 - 1/3 =
= 12 - 1 1/3 = 11 3/3 - 1 1/3 = 10 2/3
Sф = 10 2/3;
✔ 4) у = х2 + 4х
пряма (0; 0) (2; 8)
рівняння прямої, яка проходить через 2 точки: у = 4х
абсциси точок перетину прямих
х2 + 4х = 4х
х2 = 0 х = 0
рівняння прямої:
(х-х1) : (х2-х1) = (у-у1) : (у2-у1)
(у-0) : (8-0) = (х-0) : (2-0)
у/8 = х/2
2у = 4х
у = 4х
Sф = 0.