вправа 15.9 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 15.9
Знайдіть площу фігури, яка обмежена віссю абсцис і параболою:
1) у = 1 - х2;
2) у = -х2 + 4х - 3;
3) у = (2х + 4)(3 - х);
4) у = (1 - х)(х + 3);
5) у = 24 - 2х - 2х2;
6) у = -2(х - 3)2 + 2.
1) у = 1 - х2;
2) у = -х2 + 4х - 3;
3) у = (2х + 4)(3 - х);
4) у = (1 - х)(х + 3);
5) у = 24 - 2х - 2х2;
6) у = -2(х - 3)2 + 2.
Умова:
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) у = 1 - х2
1
Sф = ∫ (1 - х2)dx =
-1
1 1
= ∫ dx - ∫ х2dx =
-1 -1
1 1
= х | - х3/3 | =
-1 -1
= 1 - (-1) - 1/3 + (-1)3/3 =
= 1 + 1 - 1/3 - 1/3 =
= 2 - 2/3 = 4/3 = 1 1/3
Sф = 1 1/3;
✔ 2) у = -х2 + 4х - 3
перетворюємо вираз:
-х2 + 4х - 3 = -(х2 - 4х + 4 + 3 - 4) =
= -((х - 2)2 - 1) = -(х - 2)2 + 1
буруємо графік:
3
Sф = ∫ (-х2 + 4х - 3)dx =
1
3 3 3
= -∫ х2dx + ∫ 4хdx - ∫ 3dx =
1 1 1
3 3 3
= -х3/3 | + 4х2/2 | - 3х | =
1 1 1
= -33/3 + 1/3 + 2 • 32 - 2 • 1 +
+ 3 • 3 + 3 • 1 = -9 + 1/3 +
+ 18 - 2 - 9 + 3 = 1 1/3
Sф = 1 1/3;
✔ 3) у = (2х + 4)(3 - х)
перетворюємо вираз:
(2х + 4)(3 - х) = -2х2 + 2х + 12
у = -2х2 + 2х + 12 : 2
у = -х2 + х + 6
парабола, її вершина: (1/2; 6,25)
точки перетину з ох: (3; 0)(-2; 0)
3
Sф = ∫ (-х2 + х + 6)dx =
-2
3 3 3
= -∫ х2dx + ∫ хdx + 6∫dx =
-2 -2 -2
3 3 3
= -х3/3 | + х2/2 | + 6х | =
-2 -2 -2
= -33/3 + (-23)/3 + 32/2 -
- (-22)/2 + 6 • 3 - 6 • (-2) =
= -27/3 - 8/3 + 9/2 - 4/2 + 18 + 12 =
= -35/3 + 5/2 + 30 =
= -11 2/3 + 32,5 = 32 1/5 - 11 2/3 =
= 31 3/2 - 11 2/3 =
= 20 (9-4):6 = 20 5/6
Sф = 20 5/6;
✔ 4) у = (1 - х)(х + 3)
перетворимо вираз:
(1 - х)(х + 3) = -х2 - 2х + 3
межі інтегрування: -х2 - 2х + 3 = 0
Д = 16, х1;2 = -3; 1
графік:
1
Sф = ∫ (-х2 - 2х + 3)dx =
-3
1 1 1
= -∫ х2dx - ∫ 2хdx + ∫ 3dx =
-3 -3 -3
1 1 1
= -х3/3 | - 2х2/2 | + 3х | =
-3 -3 -3
= -1/3 + (-3)3/3 - 1 + (-3)2 + 3 • 1 - 3 • (-3) =
= -1/3 - 27/3 + 1 + 9 + 3 + 9 =
= -28/3 + 22 = -9 1/9 + 22 = 12 8/9
Sф = 12 8/9;
✔ 5) у = 24 - 2х - 2х2
у = -2х2 - 2х + 12 : 2
у = -х2 - х + 6
межі інтегрування:
-х2 - х + 6 = 0
Д = 16
х1 = -3, х2 = 2
графік схематично:
2
Sф = ∫ (-х2 - х + 6)dx =
-3
2 2 2
= -∫ х2dx - ∫ хdx + ∫ 6dx =
-3 -3 -3
2 2 2
= -х3/3 | - х2/2 | + 6х | =
-3 -3 -3
= -23/3 + (-3)3/3 - 22/2 +
+ (-3)2/2 + 6 • 2 - 6 • (-3) =
= -8/3 - 27/3 - 4/2 + 9/2 + 12 + 18 =
= - 35/3 - 2 + 4,5 + 30 =
= -13 2/3 + 34 1/2 = 20 5/6
Sф = 20 5/6;
✔ 6) у = -2(х - 3)2 + 2
перетворюємо вираз: -2(х - 3)2 + 2
межі інтегрування: -2(х - 3)2 + 2 = 0
(х - 3)2 = 1, √(х - 3)2 = √1, |х - 3| = 1
х - 3 = 1, х1 = 4, х - 3 = -1, х2 = 2
схематично графік:
4
Sф = ∫ (-2х2 + 12х - 16)dx =
2
4 4 4
= -∫ 2х2dx + ∫ 12хdx - 16∫dx =
2 2 2
4 4 4
= - 2х2/3 | + 12х2/2 | - 16х | =
2 2 2
= - (2•43)/3 + (2•23)/3 + (12•42)/2 -
- (12•22)/2 - 16 • 4 + 16 • 2 =
= -128/3 + 16/3 + 192/2 - 48/2 - 64 + 32 =
= -112/3 + 144/2 - 32 = -37 1/3 + 40 = 2 2/3
Sф = 2 2/3.
1
Sф = ∫ (1 - х2)dx =
-1
1 1
= ∫ dx - ∫ х2dx =
-1 -1
1 1
= х | - х3/3 | =
-1 -1
= 1 - (-1) - 1/3 + (-1)3/3 =
= 1 + 1 - 1/3 - 1/3 =
= 2 - 2/3 = 4/3 = 1 1/3
Sф = 1 1/3;
✔ 2) у = -х2 + 4х - 3
перетворюємо вираз:
-х2 + 4х - 3 = -(х2 - 4х + 4 + 3 - 4) =
= -((х - 2)2 - 1) = -(х - 2)2 + 1
буруємо графік:
3
Sф = ∫ (-х2 + 4х - 3)dx =
1
3 3 3
= -∫ х2dx + ∫ 4хdx - ∫ 3dx =
1 1 1
3 3 3
= -х3/3 | + 4х2/2 | - 3х | =
1 1 1
= -33/3 + 1/3 + 2 • 32 - 2 • 1 +
+ 3 • 3 + 3 • 1 = -9 + 1/3 +
+ 18 - 2 - 9 + 3 = 1 1/3
Sф = 1 1/3;
✔ 3) у = (2х + 4)(3 - х)
перетворюємо вираз:
(2х + 4)(3 - х) = -2х2 + 2х + 12
у = -2х2 + 2х + 12 : 2
у = -х2 + х + 6
парабола, її вершина: (1/2; 6,25)
точки перетину з ох: (3; 0)(-2; 0)
3
Sф = ∫ (-х2 + х + 6)dx =
-2
3 3 3
= -∫ х2dx + ∫ хdx + 6∫dx =
-2 -2 -2
3 3 3
= -х3/3 | + х2/2 | + 6х | =
-2 -2 -2
= -33/3 + (-23)/3 + 32/2 -
- (-22)/2 + 6 • 3 - 6 • (-2) =
= -27/3 - 8/3 + 9/2 - 4/2 + 18 + 12 =
= -35/3 + 5/2 + 30 =
= -11 2/3 + 32,5 = 32 1/5 - 11 2/3 =
= 31 3/2 - 11 2/3 =
= 20 (9-4):6 = 20 5/6
Sф = 20 5/6;
✔ 4) у = (1 - х)(х + 3)
перетворимо вираз:
(1 - х)(х + 3) = -х2 - 2х + 3
межі інтегрування: -х2 - 2х + 3 = 0
Д = 16, х1;2 = -3; 1
графік:
1
Sф = ∫ (-х2 - 2х + 3)dx =
-3
1 1 1
= -∫ х2dx - ∫ 2хdx + ∫ 3dx =
-3 -3 -3
1 1 1
= -х3/3 | - 2х2/2 | + 3х | =
-3 -3 -3
= -1/3 + (-3)3/3 - 1 + (-3)2 + 3 • 1 - 3 • (-3) =
= -1/3 - 27/3 + 1 + 9 + 3 + 9 =
= -28/3 + 22 = -9 1/9 + 22 = 12 8/9
Sф = 12 8/9;
✔ 5) у = 24 - 2х - 2х2
у = -2х2 - 2х + 12 : 2
у = -х2 - х + 6
межі інтегрування:
-х2 - х + 6 = 0
Д = 16
х1 = -3, х2 = 2
графік схематично:
2
Sф = ∫ (-х2 - х + 6)dx =
-3
2 2 2
= -∫ х2dx - ∫ хdx + ∫ 6dx =
-3 -3 -3
2 2 2
= -х3/3 | - х2/2 | + 6х | =
-3 -3 -3
= -23/3 + (-3)3/3 - 22/2 +
+ (-3)2/2 + 6 • 2 - 6 • (-3) =
= -8/3 - 27/3 - 4/2 + 9/2 + 12 + 18 =
= - 35/3 - 2 + 4,5 + 30 =
= -13 2/3 + 34 1/2 = 20 5/6
Sф = 20 5/6;
✔ 6) у = -2(х - 3)2 + 2
перетворюємо вираз: -2(х - 3)2 + 2
межі інтегрування: -2(х - 3)2 + 2 = 0
(х - 3)2 = 1, √(х - 3)2 = √1, |х - 3| = 1
х - 3 = 1, х1 = 4, х - 3 = -1, х2 = 2
схематично графік:
4
Sф = ∫ (-2х2 + 12х - 16)dx =
2
4 4 4
= -∫ 2х2dx + ∫ 12хdx - 16∫dx =
2 2 2
4 4 4
= - 2х2/3 | + 12х2/2 | - 16х | =
2 2 2
= - (2•43)/3 + (2•23)/3 + (12•42)/2 -
- (12•22)/2 - 16 • 4 + 16 • 2 =
= -128/3 + 16/3 + 192/2 - 48/2 - 64 + 32 =
= -112/3 + 144/2 - 32 = -37 1/3 + 40 = 2 2/3
Sф = 2 2/3.