вправа 22.72 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 22.72
Умова:
Розв'яжіть рівняння:
1) 2log5(х + 1) = log5(2х + 1);
2) 2log3√х + log3(х + 6) = 3;
3) 2log2(х - 7) + 2 = log2(х - 13)2;
4) 2lg(0,5 + х) = lg(1 - х) + lg(1,5 - х) + lg2.
Розв'яжіть рівняння:
1) 2log5(х + 1) = log5(2х + 1);
2) 2log3√х + log3(х + 6) = 3;
3) 2log2(х - 7) + 2 = log2(х - 13)2;
4) 2lg(0,5 + х) = lg(1 - х) + lg(1,5 - х) + lg2.
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) 2log5(х + 1) = log5(2х + 1)
ОДЗ: х + 1 > 0, х > -1
log5(х + 1)2 = log5(2х + 1)
(х + 1)2 = 2х + 1
х2 + 2х + 1 = 2х + 1
х2 = 0
х = 0;
✔ 2) 2log3√х + log3(х + 6) = 3
log3(√х)2 + log3(х + 6) = log327
log3(х • (х + 6)) = log327
\begin{equation} \left\{\begin{matrix} x(x+6)=27 & & \\ x>0 & & \\ x+6>0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x^{2}+6x-27=0 & & \\ x>0 & & \\ x>-6 & & \end{matrix}\right. \end{equation} х2 + 6х - 27 = 0
Д = 36 - 4 • (-27) = 36 + 108 = 144
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{-6\pm 12}{2}=-9;3 \end{equation} х = 3;
✔ 3) 2log2(х - 7) + 2 = log2(х - 13)2
ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-7>0 & \\ x-13\neq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>7 & \\ x\neq 13 & \end{matrix}\right. \end{equation} log2(х - 7)2 - log2(х - 13)2 = log22-2
\begin{equation} log_{2}\cdot \frac{(x-7)^{2}}{(x-13)^{2}}=log_{2}\frac{1}{4} \end{equation} \begin{equation} \frac{(x-7)^{2}}{(x-13)^{2}}=\frac{1}{4} \end{equation} (х - 13)2 = 4 • (х - 7)2
х2 - 26х + 169 = 4 • (х2 - 14х + 49)
х2 - 26х + 169 = 4х2 - 56х + 196
4х2 - х2 + 26х - 56х + 196 - 169 = 0
3х2 - 30х + 27 = 0 : 3
х2 - 10х + 9 = 0
Д = (-10)2 - 4 • 9 = 100 - 36 = 64
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{10\pm 8}{2}=9;1 \end{equation} х = 9;
✔ 4) 2lg(0,5 + х) = lg(1 - х) + lg(1,5 - х) + lg2
ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 1-x>0 & & \\ 1,5-x>0 & & \\ 0,5+x>0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x<1 & & \\ x<-1,5 & & \\ x>0,5 & & \end{matrix}\right. \end{equation} х ∈ (-0,5; 1)
lg(1 - х)(1,5 - х) • 2 = lg(0,5 + х)2
(1 - х)(1,5 - х) • 2 = (0,5 + х)2
2(1,5 - х - 1,5х + х2) = 0,25 + х + х2
3 - 2х - 3х + 2х2 = 0,25х + х + х2
2х2 - х2 - 5х - х + 3 - 0,25 = 0
х2 - 6х + 2,75 = 0
Д = (-6)2 - 4 • 2,75 = 36 - 11 = 25
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{6\pm 5}{2}=5,5;0,5 \end{equation} х = 0,5.
✔ 1) 2log5(х + 1) = log5(2х + 1)
ОДЗ: х + 1 > 0, х > -1
log5(х + 1)2 = log5(2х + 1)
(х + 1)2 = 2х + 1
х2 + 2х + 1 = 2х + 1
х2 = 0
х = 0;
✔ 2) 2log3√х + log3(х + 6) = 3
log3(√х)2 + log3(х + 6) = log327
log3(х • (х + 6)) = log327
\begin{equation} \left\{\begin{matrix} x(x+6)=27 & & \\ x>0 & & \\ x+6>0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x^{2}+6x-27=0 & & \\ x>0 & & \\ x>-6 & & \end{matrix}\right. \end{equation} х2 + 6х - 27 = 0
Д = 36 - 4 • (-27) = 36 + 108 = 144
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{-6\pm 12}{2}=-9;3 \end{equation} х = 3;
✔ 3) 2log2(х - 7) + 2 = log2(х - 13)2
ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-7>0 & \\ x-13\neq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>7 & \\ x\neq 13 & \end{matrix}\right. \end{equation} log2(х - 7)2 - log2(х - 13)2 = log22-2
\begin{equation} log_{2}\cdot \frac{(x-7)^{2}}{(x-13)^{2}}=log_{2}\frac{1}{4} \end{equation} \begin{equation} \frac{(x-7)^{2}}{(x-13)^{2}}=\frac{1}{4} \end{equation} (х - 13)2 = 4 • (х - 7)2
х2 - 26х + 169 = 4 • (х2 - 14х + 49)
х2 - 26х + 169 = 4х2 - 56х + 196
4х2 - х2 + 26х - 56х + 196 - 169 = 0
3х2 - 30х + 27 = 0 : 3
х2 - 10х + 9 = 0
Д = (-10)2 - 4 • 9 = 100 - 36 = 64
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{10\pm 8}{2}=9;1 \end{equation} х = 9;
✔ 4) 2lg(0,5 + х) = lg(1 - х) + lg(1,5 - х) + lg2
ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 1-x>0 & & \\ 1,5-x>0 & & \\ 0,5+x>0 & & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x<1 & & \\ x<-1,5 & & \\ x>0,5 & & \end{matrix}\right. \end{equation} х ∈ (-0,5; 1)
lg(1 - х)(1,5 - х) • 2 = lg(0,5 + х)2
(1 - х)(1,5 - х) • 2 = (0,5 + х)2
2(1,5 - х - 1,5х + х2) = 0,25 + х + х2
3 - 2х - 3х + 2х2 = 0,25х + х + х2
2х2 - х2 - 5х - х + 3 - 0,25 = 0
х2 - 6х + 2,75 = 0
Д = (-6)2 - 4 • 2,75 = 36 - 11 = 25
\begin{equation} x_{1;2}=\frac{6\pm 5}{2}=5,5;0,5 \end{equation} х = 0,5.