вправа 23.68 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

Відповідь ГДЗ:

1) 2 • 4^x + 2^x < 1
2 • 2^2x + 2^x - 1 < 0
заміна: 2^x = t, t > 0
2t² + t - 1 < 0
Д = 1 - 4 • (-1) • 2 = 9 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{-1\pm 3}{4}=-1;\frac{1}{2} \end{equation} 2^x = t \begin{equation} 2^{x}=\frac{1}{2} \end{equation} 2^x = 2^-1
x = -1



х ∈ (-∞; -1);
2) 9^x - 9^1-x > 8
ОДЗ: х ∈ R
\begin{equation}
9^{x}-\frac{9}{9^{x}}-8>0
\end{equation}
9^2x - 8 • 9^x - 9 > 0
заміна: 9^x = t, t > 0
t² - 8t - 9 > 0
Д = (-8)² - 4 • (-9) = 100 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{8\pm 10}{2}=9;-1 \end{equation} 9^x = t
9^x = 9
x = 1



х ∈ (1; +∞);
3) 3^1+x - 3^2-x < 26 \begin{equation} 3\cdot 3^{x}-\frac{3^{2}}{3^{x}}-26<0 \end{equation} заміна: 3^x = t, t > 0
3 • 3^2x - 26 • 3^x - 9 < 0
3t² - 26t - 9 < 0
метод ітервалів
f(x) = 0
f(x) = 3t² - 26t - 9
3t² - 26t - 9 = 0
Д = (-26)² - 4 • 3 • (-9) =
= 676 + 108 = 784 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{26\pm 28}{6}=9;-\frac{1}{3} \end{equation}


3^x = t
3^x = 9
3^x = 3²
x = 2



х ∈ (-∞; 2);
4) 7^x + 5 < 14 • 7^-x
7^x + 5 - 14 • 7^-x < 0 \begin{equation} 7^{x}+5-\frac{14}{7^{x}}<0 \end{equation} заміна: 7^х = t, t > 0
7^2x + 5 • 7^x - 14 < 0
t² + 5t - 14 = 0
Д = 25 - 4 • (-14) =
= 25 + 56 = 81 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{-5\pm 9}{2}=2;-7 \end{equation} 7^х = 2
х = log₇2



х ∈ (-∞; log₇2).