вправа 23.90 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 23.90
Умова:
Розв'яжіть нерівність:
Розв'яжіть нерівність:
Відповідь ГДЗ:
✔ 1) |x + 2| - |x - 3| ≤ 3
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+2=0 & \\ x-3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} х = -2
х = 3
(-∞; -2]; (-2; 3]; (3; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -2],
х ≤ -2, то
х + 2 ≤ 0 і
|х + 2| = -(х + 2)
х - 3 ≤ 0 і
| х - 3| = -(х - 3) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -(x+2)+(x-3)\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -x-2+x-3\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} x < -2.
2. Якщо х ∈ (-2; 3],
-2 < х < 3, то
х + 2 > 0 і
|х + 2| = х + 2
х - 3 < 0 і
|х - 3| = -(х - 3) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ x+2+x-3\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ 2x\leq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ x\leq 2 & \end{matrix}\right. \end{equation} -2 < x < 2.
3. Якщо х ∈ (3; +∞),
х > 3, то
х + 2 > 0 і
|x + 2| = x + 2;
x - 3 > 0 і
|x - 3| > 0
|x - 3| = x - 3 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ (x+2)-(x-3)\leq 3 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>3 & \\ x+2-x-3\leq 3 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} => x > 3
х ∈ (-∞; 2].
✔ 2) |2x + 4| + |x - 1| > 6
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних функцій \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x+4=0 & \\ x-1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ x=1 & \end{matrix}\right. \end{equation}
(-∞; -2]; (-2; 1]; (1; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -2],
х ≤ -2, то
2x + 4 ≤ 0 і
|2x + 4| = -(2x + 4)
x - 1 < 0 і
|x - 1| = -(x - 1) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -(2x+4)-(x-1)>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -2x-4-x+1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -3x>9\cdot (-1) & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -3x<-9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ x<-3 & \end{matrix}\right. \end{equation} => x < -3.
2. Якщо х ∈ (-2; 1], то
2х + 4 > 0 і
|2x + 4| = 2x + 4
x - 1 < 0
|x - 1| = -(x - 1) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ 2x+4-(x-1)>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ 2x+4-x+1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ x>1 & \end{matrix}\right. \end{equation} x > 1
3. Якщо х ∈ (1; +∞),
х > 1, то
2x + 4 > 0
|2x + 4| = 2x + 4
x - 1 > 0
|x - 1| = x - 1 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ 2x+4+x-1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ 3x>3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ x>1 & \end{matrix}\right. \end{equation} => x > 1
х ∈ (-∞; -3) U (1; +∞).
✔ 3) |2x + 3| + |x - 2| ≥ 4
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x+3=0 & \\ x-2=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x=-3 & \\ x=2 & \end{matrix}\right. \end{equation}
\begin{equation} (-\propto ;-\frac{3}{2});(-\frac{3}{2};2]; \end{equation} \begin{equation} (2;+\propto ) \end{equation} 1. Якщо х ∈ (-∞; -1,5],
то х ≤ 1,5
2х + 3 < 0
|2x + 3| = -(2x + 3)
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -1,5 & \\ -(2x+3)-(x-2)\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -1,5 & \\ x\leq -\frac{5}{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} 2. Якщо х ∈ (-1,5; 2],
-1,5 < х ≤ 2
2х + 3 > 0
|2х + 3| = 2х3
х - 2 < 0
|х - 2| = -(х - 2) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -1,5<x\leq 2 & \\ 2x+3-(x-2)\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -1,5<x\leq 2 & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} 3. Якщо х ∈ (2; +∞)
2х + 3 > 0
|2x + 3| = 2x + 3
x - 2 > 0
|x - 2| = x - 2 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ 2x+3+x-2\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ 3x\geq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ x\geq \frac{3}{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation}
\begin{equation} x\in (-\propto ;-1\frac{2}{3}]U[-1;+\propto ) \end{equation} ✔ 4) 3|x - 2| + |5x + 4| ≤ 10
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-2=0 & \\ 5x+4=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ 5x=-4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ x=-0,8 & \end{matrix}\right. \end{equation}
(-∞; -0,8]; (-0,8; 2]; (2; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -0,8], тобто
х ≤ -0,8, то
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2)
x ≤ -0,8, то
5x + 4 < 0
|5x + 4| = -(5x + 4) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -3(x-2)-(5x+4)\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -3x+6-5x-4\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -8x\leq 8\cdot (-1) & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ 8x\geq -8 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ x\geq -1 & \end{matrix}\right. \end{equation} 2. Якщо х ∈ (-0,8; 2]
-0,8 < x ≤ 2, то
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2)
5x + 4 > 0
|5x + 4| = 5x + 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8x\leq 2 & \\ -3(x-2)+(5x+4)\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8<x\leq 2 & \\ -3x+6+5x+4\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8<x\leq 2 & \\ 2x\leq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} 0,8 < x < 2
x < 0
3. Якщо х ∈ (2; +∞),
х > 2, то
x - 2 > 0
|x - 2| = x - 2
5x + 4 > 0
|5x + 4| = 5x + 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3(x-2)+(5x+4)\leq 10 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3x-6+5x+4\leq 10 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 8x\leq 12 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq 1,5 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation}
х ∈ [-1; 0]
✔ 1) |x + 2| - |x - 3| ≤ 3
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+2=0 & \\ x-3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} х = -2
х = 3
(-∞; -2]; (-2; 3]; (3; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -2],
х ≤ -2, то
х + 2 ≤ 0 і
|х + 2| = -(х + 2)
х - 3 ≤ 0 і
| х - 3| = -(х - 3) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -(x+2)+(x-3)\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -x-2+x-3\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} x < -2.
2. Якщо х ∈ (-2; 3],
-2 < х < 3, то
х + 2 > 0 і
|х + 2| = х + 2
х - 3 < 0 і
|х - 3| = -(х - 3) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ x+2+x-3\leq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ 2x\leq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 3 & \\ x\leq 2 & \end{matrix}\right. \end{equation} -2 < x < 2.
3. Якщо х ∈ (3; +∞),
х > 3, то
х + 2 > 0 і
|x + 2| = x + 2;
x - 3 > 0 і
|x - 3| > 0
|x - 3| = x - 3 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ (x+2)-(x-3)\leq 3 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>3 & \\ x+2-x-3\leq 3 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} => x > 3
х ∈ (-∞; 2].
✔ 2) |2x + 4| + |x - 1| > 6
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних функцій \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x+4=0 & \\ x-1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ x=1 & \end{matrix}\right. \end{equation}
(-∞; -2]; (-2; 1]; (1; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -2],
х ≤ -2, то
2x + 4 ≤ 0 і
|2x + 4| = -(2x + 4)
x - 1 < 0 і
|x - 1| = -(x - 1) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -(2x+4)-(x-1)>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -2x-4-x+1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq-2 & \\ -3x>9\cdot (-1) & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ -3x<-9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -2 & \\ x<-3 & \end{matrix}\right. \end{equation} => x < -3.
2. Якщо х ∈ (-2; 1], то
2х + 4 > 0 і
|2x + 4| = 2x + 4
x - 1 < 0
|x - 1| = -(x - 1) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ 2x+4-(x-1)>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ 2x+4-x+1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -2<x\leq 1 & \\ x>1 & \end{matrix}\right. \end{equation} x > 1
3. Якщо х ∈ (1; +∞),
х > 1, то
2x + 4 > 0
|2x + 4| = 2x + 4
x - 1 > 0
|x - 1| = x - 1 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ 2x+4+x-1>6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ 3x>3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>1 & \\ x>1 & \end{matrix}\right. \end{equation} => x > 1
х ∈ (-∞; -3) U (1; +∞).
✔ 3) |2x + 3| + |x - 2| ≥ 4
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x+3=0 & \\ x-2=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2x=-3 & \\ x=2 & \end{matrix}\right. \end{equation}
\begin{equation} (-\propto ;-\frac{3}{2});(-\frac{3}{2};2]; \end{equation} \begin{equation} (2;+\propto ) \end{equation} 1. Якщо х ∈ (-∞; -1,5],
то х ≤ 1,5
2х + 3 < 0
|2x + 3| = -(2x + 3)
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -1,5 & \\ -(2x+3)-(x-2)\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -1,5 & \\ x\leq -\frac{5}{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} 2. Якщо х ∈ (-1,5; 2],
-1,5 < х ≤ 2
2х + 3 > 0
|2х + 3| = 2х3
х - 2 < 0
|х - 2| = -(х - 2) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -1,5<x\leq 2 & \\ 2x+3-(x-2)\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -1,5<x\leq 2 & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} 3. Якщо х ∈ (2; +∞)
2х + 3 > 0
|2x + 3| = 2x + 3
x - 2 > 0
|x - 2| = x - 2 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ 2x+3+x-2\geq 4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ 3x\geq 3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ x\geq \frac{3}{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>2 & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation}
\begin{equation} x\in (-\propto ;-1\frac{2}{3}]U[-1;+\propto ) \end{equation} ✔ 4) 3|x - 2| + |5x + 4| ≤ 10
ОДЗ: х ∈ R
нулі підмодульних виразів \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-2=0 & \\ 5x+4=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ 5x=-4 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ x=-0,8 & \end{matrix}\right. \end{equation}
(-∞; -0,8]; (-0,8; 2]; (2; +∞)
1. Якщо х ∈ (-∞; -0,8], тобто
х ≤ -0,8, то
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2)
x ≤ -0,8, то
5x + 4 < 0
|5x + 4| = -(5x + 4) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -3(x-2)-(5x+4)\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -3x+6-5x-4\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ -8x\leq 8\cdot (-1) & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ 8x\geq -8 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq -0,8 & \\ x\geq -1 & \end{matrix}\right. \end{equation} 2. Якщо х ∈ (-0,8; 2]
-0,8 < x ≤ 2, то
x - 2 < 0
|x - 2| = -(x - 2)
5x + 4 > 0
|5x + 4| = 5x + 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8x\leq 2 & \\ -3(x-2)+(5x+4)\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8<x\leq 2 & \\ -3x+6+5x+4\leq 10 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} -0,8<x\leq 2 & \\ 2x\leq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} 0,8 < x < 2
x < 0
3. Якщо х ∈ (2; +∞),
х > 2, то
x - 2 > 0
|x - 2| = x - 2
5x + 4 > 0
|5x + 4| = 5x + 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3(x-2)+(5x+4)\leq 10 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3x-6+5x+4\leq 10 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 8x\leq 12 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\leq 1,5 & \\ x>2 & \end{matrix}\right. \end{equation}
х ∈ [-1; 0]