вправа 24.40 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.40
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ: \begin{equation} 1)\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{x+y}+\sqrt[4]{y-x}=6 & \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{y-x}=12 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+y\geq 0 & \\ y-x\geq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай \begin{equation} \sqrt[4]{x+y}=u,u\geq 0 \end{equation} \begin{equation} \sqrt[4]{y-x}=v,v\geq 0, \end{equation} тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u+v=6 & \\ u^{2}-v^{2}=12 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u+v=6 & \\ (u+v)(u-v)=12 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u+v=6 & \\ 6(u-v)=12 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2u=8 & \\ v=u-6 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u=4 & \\ v=2 & \end{matrix}\right. \end{equation} Тоді маємо: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{x+y}=4 & \\ \sqrt[4]{y-x}=2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+y=4^{4} & \\ y-x=2^{4} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+y=256 & \\ y-x=16 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=256-y & \\ 2y=272 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=120 & \\ y=136 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=5 & \\ x-9y=-5 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=5 & \\ (\sqrt{x}+3\sqrt{y})(\sqrt{x}-3\sqrt{y})=-5 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=5 & \\ 5(\sqrt{x}-3\sqrt{y})=-5 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+3\sqrt{y}=5 & \\ \sqrt{x}-3\sqrt{y}=-1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}=4 & \\ 3\sqrt{y}=\sqrt{x}+1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=2 & \\ 3\sqrt{y}=\sqrt{x}+1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ 3\sqrt{y}=3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} 3)\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=1 & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай 3√х = u, 3√у = v, тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u-v=1 & \\ u^{3}\cdot v^{3}=8 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u-v=1 & \\ (uv)^{3}=8 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u-v=1 & \\ uv=2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u=1+v & \\ (1+v)v=2& \end{matrix}\right.\end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u=1+v & \\ v^{2}+v-2=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} v2 + v - 2 = 0,
за теоремою Вієта
v1 = -2, v2 = 1, тоді \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=1-2 & \\ v_{1}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=1+1 & \\ v_{2}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=-1 & \\ v_{1}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=2 & \\ v_{2}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Виконуємо обернену підстановку: \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=-1 & \\ \sqrt[3]{y}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=2 & \\ \sqrt[3]{y}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ y=-8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=8 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 4)\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{3y}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{3y}}=2 & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} Піднесемо перше рівняння до квадрату: \begin{equation} (\sqrt{\frac{3y}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{3y}})^{2}=4 \end{equation} \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}+2\sqrt{\frac{3y}{x+y}\cdot \frac{x+y}{3y}}+\frac{x+y}{3y}=4 \end{equation} \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}+\frac{x+y}{3y}=2 \end{equation} Тоді система має вигляд: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} {\frac{3y}{x+y}}+{\frac{x+y}{3y}}=2 & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}=t, \end{equation} тоді перше рівняння системи: \begin{equation} t+\frac{1}{t}=2 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-2t+1}{t}=0 \end{equation} t2 - 2t + 1 = 0, t ≠ 0.
Звідки t = 1 \begin{equation} \frac{3y}{x+y}=1 \end{equation} 3у = х + у, звідки х = 2у \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ 2y^{2}+2y+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ 2y^{2}+3y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} 2y2 + 3y = 14
2y2 + 3y - 14 = 0
Д = 9 + 112 = 121 \begin{equation} y_{1}=\frac{-3-11}{2\cdot 2}=-3,5; \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{-3+11}{2\cdot 2}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2\cdot (-3,5) \\ y=-3,5 \\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2\cdot 2 \\ y=2 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-7 \\ y_{1}=-3,5 \\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 \\ y_{2}=2 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Перевіркою визначаємо,
що обидва кореня підходять.
Відповідь: (-7; -3,5); (4; 2)
за теоремою Вієта
v1 = -2, v2 = 1, тоді \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=1-2 & \\ v_{1}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=1+1 & \\ v_{2}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=-1 & \\ v_{1}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=2 & \\ v_{2}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Виконуємо обернену підстановку: \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=-1 & \\ \sqrt[3]{y}=-2 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x}=2 & \\ \sqrt[3]{y}=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ y=-8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=8 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 4)\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{3y}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{3y}}=2 & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} Піднесемо перше рівняння до квадрату: \begin{equation} (\sqrt{\frac{3y}{x+y}}+\sqrt{\frac{x+y}{3y}})^{2}=4 \end{equation} \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}+2\sqrt{\frac{3y}{x+y}\cdot \frac{x+y}{3y}}+\frac{x+y}{3y}=4 \end{equation} \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}+\frac{x+y}{3y}=2 \end{equation} Тоді система має вигляд: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} {\frac{3y}{x+y}}+{\frac{x+y}{3y}}=2 & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай \begin{equation} {\frac{3y}{x+y}}=t, \end{equation} тоді перше рівняння системи: \begin{equation} t+\frac{1}{t}=2 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-2t+1}{t}=0 \end{equation} t2 - 2t + 1 = 0, t ≠ 0.
Звідки t = 1 \begin{equation} \frac{3y}{x+y}=1 \end{equation} 3у = х + у, звідки х = 2у \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ xy+x+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ 2y^{2}+2y+y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y & \\ 2y^{2}+3y=14 & \end{matrix}\right. \end{equation} 2y2 + 3y = 14
2y2 + 3y - 14 = 0
Д = 9 + 112 = 121 \begin{equation} y_{1}=\frac{-3-11}{2\cdot 2}=-3,5; \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{-3+11}{2\cdot 2}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2\cdot (-3,5) \\ y=-3,5 \\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2\cdot 2 \\ y=2 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-7 \\ y_{1}=-3,5 \\ \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 \\ y_{2}=2 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Перевіркою визначаємо,
що обидва кореня підходять.
Відповідь: (-7; -3,5); (4; 2)