вправа 24.42 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.42
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
1+2cos2x=0 & \\
\sqrt{6}cosy-4sinx=2\sqrt{3}(1+sin^{2}y) &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
1 + 2cos2x = 1 + 2(1 - 2sin2x) =
= 1 + 2 - 4sin2x = 3 - 4 sin2x,
тоді перше рівняння системи
має вид 3 - 4sin2х = 0, \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3-4sin^{2}x=0 & \\ \sqrt{6}cosy-4sinx-2\sqrt{3}(1+1-cos^{2}y)=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin^{2}x=\frac{3}{4} & \\ \sqrt{6}cosy-4sinx-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як \begin{equation} sinx=\pm \sqrt{}\frac{3}{4}, \end{equation} тобто \begin{equation} sinx=\pm \sqrt{}\frac{3}{2},TO \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sqrt{6}cosy-4\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо окремо кожну систему,
а потім знайдемо їх сукупність. \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ 2\sqrt{3}cos^{2}y+\sqrt{6}cosy-2\sqrt{3}=0|:2\sqrt{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cos^{2}y+\frac{1}{\sqrt{2}}cosy-1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо окремо друге рівняння.
Нехай cosy = t, -1 ≤ t ≤ 1, тоді \begin{equation} t^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}t-1=0 \end{equation} \begin{equation} D=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+4=\frac{9}{4}; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=\frac{3}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{-2}{\sqrt{2}} \end{equation} сторонній розв'язок,
так як \begin{equation} t_{1}=\frac{-2}{\sqrt{2}}<-1 \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} Отже, \begin{equation} cosy=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} Тоді перша система має вигляд: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cosy=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{3}+\Pi n,n\in Z & \\ y=\pm \frac{\Pi }{4}+2\Pi m,m\in Z. \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ 2\sqrt{3}cos^{2}y+\sqrt{6}cosy-6\sqrt{3}=0|:2\sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cos^{2}y+\frac{1}{\sqrt{2}}cosy-3=0 \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння.
Нехай cosу = t, -1 ≤ t ≤ 1 \begin{equation} t^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}t-3=0 \end{equation} \begin{equation} D=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+12=\frac{24}{2} \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2{\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{3}}{2}<-1 \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+2\sqrt{3}}{2}<-1 \end{equation} t1, t2 - сторонні корені.
Отже, розв'язком сукупності
систем буде розв'язок першої системи.
Відповідь: \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{3}+\Pi n,n\in Z \end{equation} \begin{equation} y=\pm \frac{\Pi }{4}+2\Pi m,m\in Z \end{equation} \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{sin2y-1}siny=0 & \\ cos^{2}(\frac{\Pi }{2}-2y)-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{sin2y-1}siny=0 & \\ sin^{2}2y-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} Із першого випливає, що \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=0 \end{equation} чи sinу = 0.
Але, якщо прийняти, що
sinу = 0, то
sin2y=2cosysiny = 2cosy • 0 = 0
тоді \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=\sqrt{0-1}=\sqrt{-1} \end{equation} Система має розв'язок лише коли \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=0, \end{equation} тобто sin2y - 1 = 0.
Тоді задана система еквівалентна системі: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y-1=0 & \\ sin^{2}2y-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ 1-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ 2sin3x=1 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ sin3x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2y=\frac{\Pi }{2}+2\Pi n,n\in Z & \\ 3x=(-1)^{k}\frac{\Pi }{6}+\Pi k,k\in Z \end{matrix}\right.ф \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=\frac{\Pi }{4}+\Pi n,n\in Z & \\ x=(-1)^{k}\frac{\Pi }{18}+\frac{\Pi k}{3},k\in Z \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} ((-1)^{k}\frac{\Pi }{18}+\frac{\Pi k}{3};\frac{\Pi }{4}+\Pi n),n\in Z,k\in Z \end{equation}
= 1 + 2 - 4sin2x = 3 - 4 sin2x,
тоді перше рівняння системи
має вид 3 - 4sin2х = 0, \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 3-4sin^{2}x=0 & \\ \sqrt{6}cosy-4sinx-2\sqrt{3}(1+1-cos^{2}y)=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin^{2}x=\frac{3}{4} & \\ \sqrt{6}cosy-4sinx-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як \begin{equation} sinx=\pm \sqrt{}\frac{3}{4}, \end{equation} тобто \begin{equation} sinx=\pm \sqrt{}\frac{3}{2},TO \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \sqrt{6}cosy-4\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо окремо кожну систему,
а потім знайдемо їх сукупність. \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ 2\sqrt{3}cos^{2}y+\sqrt{6}cosy-2\sqrt{3}=0|:2\sqrt{3} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cos^{2}y+\frac{1}{\sqrt{2}}cosy-1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо окремо друге рівняння.
Нехай cosy = t, -1 ≤ t ≤ 1, тоді \begin{equation} t^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}t-1=0 \end{equation} \begin{equation} D=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+4=\frac{9}{4}; \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=\frac{3}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{-2}{\sqrt{2}} \end{equation} сторонній розв'язок,
так як \begin{equation} t_{1}=\frac{-2}{\sqrt{2}}<-1 \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} Отже, \begin{equation} cosy=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{equation} Тоді перша система має вигляд: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cosy=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{3}+\Pi n,n\in Z & \\ y=\pm \frac{\Pi }{4}+2\Pi m,m\in Z. \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ \sqrt{6}cosy-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^{2}y=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ 2\sqrt{3}cos^{2}y+\sqrt{6}cosy-6\sqrt{3}=0|:2\sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} & \\ cos^{2}y+\frac{1}{\sqrt{2}}cosy-3=0 \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння.
Нехай cosу = t, -1 ≤ t ≤ 1 \begin{equation} t^{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}t-3=0 \end{equation} \begin{equation} D=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+12=\frac{24}{2} \end{equation} \begin{equation} \sqrt{D}=2{\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{3}}{2}<-1 \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+2\sqrt{3}}{2}<-1 \end{equation} t1, t2 - сторонні корені.
Отже, розв'язком сукупності
систем буде розв'язок першої системи.
Відповідь: \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{3}+\Pi n,n\in Z \end{equation} \begin{equation} y=\pm \frac{\Pi }{4}+2\Pi m,m\in Z \end{equation} \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{sin2y-1}siny=0 & \\ cos^{2}(\frac{\Pi }{2}-2y)-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{sin2y-1}siny=0 & \\ sin^{2}2y-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} Із першого випливає, що \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=0 \end{equation} чи sinу = 0.
Але, якщо прийняти, що
sinу = 0, то
sin2y=2cosysiny = 2cosy • 0 = 0
тоді \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=\sqrt{0-1}=\sqrt{-1} \end{equation} Система має розв'язок лише коли \begin{equation} \sqrt{sin2y-1}=0, \end{equation} тобто sin2y - 1 = 0.
Тоді задана система еквівалентна системі: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y-1=0 & \\ sin^{2}2y-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ 1-2sin3x=0 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ 2sin3x=1 \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} sin2y=1 & \\ sin3x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2y=\frac{\Pi }{2}+2\Pi n,n\in Z & \\ 3x=(-1)^{k}\frac{\Pi }{6}+\Pi k,k\in Z \end{matrix}\right.ф \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=\frac{\Pi }{4}+\Pi n,n\in Z & \\ x=(-1)^{k}\frac{\Pi }{18}+\frac{\Pi k}{3},k\in Z \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} ((-1)^{k}\frac{\Pi }{18}+\frac{\Pi k}{3};\frac{\Pi }{4}+\Pi n),n\in Z,k\in Z \end{equation}