вправа 24.52 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.52
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
log_{5}x-log_{25}y=0 & \\
y^{2}-10x^{2}+9=0 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
ОДЗ: х > 0, y > 0
\begin{equation}
log_{5}x-log_{25}y=0
\end{equation}
\begin{equation}
log_{5}x-\frac{1}{2}log_{5}y=0
\end{equation}
\begin{equation}
log_{5}x=log_{5}\sqrt{y}
\end{equation}
\begin{equation}
x=\sqrt{y}
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{y} & \\
y^{2}-10(\sqrt{y})^{2}+9=0 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x=\sqrt{y} & \\
y^{2}-10y+9=0 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
За теоремою Вієтта розв'язки
другого рівняння системи:
у1 = 1 та у2 = 9, тоді: \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{9} \\ y=9 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=3 \\ y=9 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (1; 1), (3; 9) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} log_{2}(y-x)=2 & \\ log_{4}x+log_{2}y=4 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ y>0 \\ y>x\\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y-x=2^{2} \\ \frac{1}{2}log_{2}x+log_{2}y=4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ log_{2}\sqrt{x}y=4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ \sqrt{x}y=2^{4} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ \sqrt{x}\cdot (4+x)=16 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
√х(4 + х) = 16
Нехай корх = t, t > 0
t(4 + t2) = 16
t3 + 4t - 16 = 0
Способом підбора встановлюємо,
що один із коренів t = 2, тоді
Так, як рівняння t2 + 2t + 8 = 0 не має
коренів, то t = 2 - єдиний корінь рівняння
t3 + 4t - 16 = 0
√х = 2, тоді х = 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 \\ y=4+4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 \\ y=8 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (4; 8)
другого рівняння системи:
у1 = 1 та у2 = 9, тоді: \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{9} \\ y=9 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=3 \\ y=9 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (1; 1), (3; 9) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} log_{2}(y-x)=2 & \\ log_{4}x+log_{2}y=4 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ y>0 \\ y>x\\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y-x=2^{2} \\ \frac{1}{2}log_{2}x+log_{2}y=4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ log_{2}\sqrt{x}y=4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ \sqrt{x}y=2^{4} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y=4+x \\ \sqrt{x}\cdot (4+x)=16 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
√х(4 + х) = 16
Нехай корх = t, t > 0
t(4 + t2) = 16
t3 + 4t - 16 = 0
Способом підбора встановлюємо,
що один із коренів t = 2, тоді
Так, як рівняння t2 + 2t + 8 = 0 не має
коренів, то t = 2 - єдиний корінь рівняння
t3 + 4t - 16 = 0
√х = 2, тоді х = 4 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 \\ y=4+4 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 \\ y=8 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (4; 8)