вправа 24.64 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.64
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
xy(x+y)=30 \\
x+y=11-xy \\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Нехай х + у = u, ху = v, тоді
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
uv=30 \\
u=11-v \\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
(11-v)v=30 \\
u=11-v \\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
11v - v2 = 30
v2 - 11v + 30 = 0
За теоремою Вієтта:
v1 = 5, v2 = 6 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=11-5 & \\ v_{1}=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=11-6 & \\ v_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=6 & \\ v_{1}=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=5 & \\ v_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+y=6 & \\ xy=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x+y=5 & \\ xy=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо окремо кожну систему
і знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} x+y=6 \\ xy=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ (6-y)y=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ 6y-y^{2}=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ y^{2}-6y+5=0 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ \begin{bmatrix} y=1 & \\ y=5 & \end{bmatrix} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=5 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} x+y=5 \\ xy=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ (5-y)y=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ 5y-y^{2}=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ y^{2}-5y+6=0 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ \begin{bmatrix} y=3 \\ y=2 \end{bmatrix} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (5; 1); (1; 5);
(2; 3); (3; 2). \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ 2y-3x=3 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{x}{\frac{3}{2}(1+x)}+\frac{\frac{3}{2}(1+x)}{x}=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}(1+x) \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо перше рівняння: \begin{equation} \frac{2x}{3(1+x)}+\frac{3(1+x)}{2x}=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{2\cdot 2x^{2}+9(1+x)^{2}-15x(1+x)}{6(1+x)x}=0 \end{equation} 4х2 + 9 + 18х + 9х2 - 15х - 15х2 = 0
(1 + х)х ≠ 0
2х2 - 3х - 9 = 0
Д = 9 + 72 = 81 \begin{equation} x_{1}=\frac{3-9}{4}=-\frac{3}{2} \end{equation} \begin{equation} x_{2}=\frac{3+9}{4}=3 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{3}{2} \\ y_{1}=\frac{3}{2}(1-\frac{3}{2}) & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=3 & \\ y_{2}=-\frac{3}{2}(1+3) \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{3}{2} \\ y_{1}=-\frac{3}{4} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=3 & \\ y_{2}=6 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-\frac{3}{2};-\frac{3}{4});(3;6) \end{equation}
v2 - 11v + 30 = 0
За теоремою Вієтта:
v1 = 5, v2 = 6 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=11-5 & \\ v_{1}=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=11-6 & \\ v_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} u_{1}=6 & \\ v_{1}=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} u_{2}=5 & \\ v_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+y=6 & \\ xy=5 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x+y=5 & \\ xy=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо окремо кожну систему
і знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} x+y=6 \\ xy=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ (6-y)y=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ 6y-y^{2}=5 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ y^{2}-6y+5=0 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=6-y \\ \begin{bmatrix} y=1 & \\ y=5 & \end{bmatrix} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=5 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} x+y=5 \\ xy=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ (5-y)y=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ 5y-y^{2}=6 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ y^{2}-5y+6=0 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=5-y \\ \begin{bmatrix} y=3 \\ y=2 \end{bmatrix} \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (5; 1); (1; 5);
(2; 3); (3; 2). \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ 2y-3x=3 \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{x}{\frac{3}{2}(1+x)}+\frac{\frac{3}{2}(1+x)}{x}=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}(1+x) \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо перше рівняння: \begin{equation} \frac{2x}{3(1+x)}+\frac{3(1+x)}{2x}=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{2\cdot 2x^{2}+9(1+x)^{2}-15x(1+x)}{6(1+x)x}=0 \end{equation} 4х2 + 9 + 18х + 9х2 - 15х - 15х2 = 0
(1 + х)х ≠ 0
2х2 - 3х - 9 = 0
Д = 9 + 72 = 81 \begin{equation} x_{1}=\frac{3-9}{4}=-\frac{3}{2} \end{equation} \begin{equation} x_{2}=\frac{3+9}{4}=3 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{3}{2} \\ y_{1}=\frac{3}{2}(1-\frac{3}{2}) & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=3 & \\ y_{2}=-\frac{3}{2}(1+3) \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{3}{2} \\ y_{1}=-\frac{3}{4} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=3 & \\ y_{2}=6 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (-\frac{3}{2};-\frac{3}{4});(3;6) \end{equation}