вправа 24.68 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.68
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
x+y=xy-29 & \\
x^{2}+y^{2}=x+y+72 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Нехай х + у = u, ху = v, тоді
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u=v-29 & \\
u^{2}-2v=u+72 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u=v-29 & \\
(v-29)^{2}-2v=v-29+72 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
v2 - 58v + 841 - 3v - 43 = 0
v2 - 61v + 798 = 0
Д = 612 - 4 • 798 = 529 \begin{equation} v_{1}=\frac{61-23}{2}=19 \end{equation} \begin{equation} v_{2}=\frac{61+23}{2}=42 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=19\\ u_{1}=-10 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=42 & \\ u_{2}=13 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} xy=19\\ x+y=-10 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} xy=42 & \\ x+y=13 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} (-10-y)y=19\\ x=-10-y \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} (13-y)y=42 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо кожну систему окремо і
знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} y^{2}+10y+19=0 & \\ x=-10-y & \end{matrix}\right. \end{equation} x2 + 10y + 19 = 0
Д = 100 - 4 • 19 = 24
немає розв'язків \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} 13y-y^{2}=42 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-13y+42=0 & \\ x=13-y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 - 13y + 42 = 0
Д = 169 - 4 • 42 = 1 \begin{equation} y_{1}=\frac{13+1}{2}=7 \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{13-1}{2}=6 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=13-7\\ y_{1}=7 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=13-6 & \\ y_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=6\\ y_{1}=7 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=7 & \\ y_{2}=6. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (6; 7); (7; 6) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+5(x+y)=15-3y & \\ x^{2}+y^{2}-x-y+xy=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай х + у = u, xy = v \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u^{2}-2v+5u=15-3v & \\ u^{2}-2v-u+v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u^{2}+5u+v=15 & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 6u+2v=14 & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2v=14-6u & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}-u-7+34=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}+2u-8=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} u2 + 2u - 8 = 0
За теоремою Вієтта:
u1 = -4, u2 = 2 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=7+12\\ u_{1}=-4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=7-6 & \\ u_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=19\\ u_{1}=-4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=1 & \\ u_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+y=-4\\ xy=19 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x+y=2 & \\ xy=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-4-y\\ (-4-y)y=19 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ (2-y)y=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-4-y\\ y^{2}+4y+19=0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y^{2}-2y+1=0 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо кожну систему окремо і
знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-4-y & \\ y^{2}+4y+19=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 + 4y + 19 = 0
Д = 16 - 76 = -60 < 0
немає розв'язків \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y^{2}-2y+1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 - 2y + 1 = 0
y1 = y2 = 1, тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1. & \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (1; 1)
v2 - 61v + 798 = 0
Д = 612 - 4 • 798 = 529 \begin{equation} v_{1}=\frac{61-23}{2}=19 \end{equation} \begin{equation} v_{2}=\frac{61+23}{2}=42 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=19\\ u_{1}=-10 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=42 & \\ u_{2}=13 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} xy=19\\ x+y=-10 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} xy=42 & \\ x+y=13 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} (-10-y)y=19\\ x=-10-y \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} (13-y)y=42 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо кожну систему окремо і
знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} 1.\left\{\begin{matrix} y^{2}+10y+19=0 & \\ x=-10-y & \end{matrix}\right. \end{equation} x2 + 10y + 19 = 0
Д = 100 - 4 • 19 = 24
немає розв'язків \begin{equation} 2.\left\{\begin{matrix} 13y-y^{2}=42 & \\ x=13-y & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-13y+42=0 & \\ x=13-y=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 - 13y + 42 = 0
Д = 169 - 4 • 42 = 1 \begin{equation} y_{1}=\frac{13+1}{2}=7 \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{13-1}{2}=6 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=13-7\\ y_{1}=7 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=13-6 & \\ y_{2}=6 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=6\\ y_{1}=7 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=7 & \\ y_{2}=6. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (6; 7); (7; 6) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+5(x+y)=15-3y & \\ x^{2}+y^{2}-x-y+xy=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} Нехай х + у = u, xy = v \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u^{2}-2v+5u=15-3v & \\ u^{2}-2v-u+v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u^{2}+5u+v=15 & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 6u+2v=14 & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2v=14-6u & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}-u-v=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}-u-7+34=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} v=7-3u & \\ u^{2}+2u-8=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} u2 + 2u - 8 = 0
За теоремою Вієтта:
u1 = -4, u2 = 2 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=7+12\\ u_{1}=-4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=7-6 & \\ u_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} v_{1}=19\\ u_{1}=-4 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} v_{2}=1 & \\ u_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+y=-4\\ xy=19 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x+y=2 & \\ xy=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-4-y\\ (-4-y)y=19 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ (2-y)y=1 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=-4-y\\ y^{2}+4y+19=0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y^{2}-2y+1=0 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо кожну систему окремо і
знайдемо сукупність розв'язків: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=-4-y & \\ y^{2}+4y+19=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 + 4y + 19 = 0
Д = 16 - 76 = -60 < 0
немає розв'язків \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y^{2}-2y+1=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} y2 - 2y + 1 = 0
y1 = y2 = 1, тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-1 & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=1. & \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (1; 1)