вправа 24.70 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.70
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=1,5\sqrt{xy} & \\
x+y=5 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Нехай
\begin{equation}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=u,u\geq 0,
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt{xy}=v,v\geq 0,
\end{equation}
тоді
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u=1,5v & \\
u^{2}-2v=5 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u=1,5v & \\
(1,5v)^{2}-2v=5 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u=1,5v & \\
2,25v^{2}-2v-5=0 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
2,25v2 - 2v - 5 = 0
Д = 4 + 45 = 49 \begin{equation} v_{1}=\frac{2-7}{4,5}=-\frac{35}{45} \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} v_{2}=\frac{2+7}{4,5}=2 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u=3 & \\ v=2, & \end{matrix}\right. \end{equation} тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3 & \\ \sqrt{xy}=2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}=3 & \\ \sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{y}} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \frac{2+y-3\sqrt{y}}{\sqrt{y}}=0 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{y}\neq 0,y>0 \end{equation} Нехай кору = t, тоді
у - 3t + 2 = 0
Д = 9 - 8 = 1 \begin{equation} \frac{3-1}{2}=1=> \end{equation} \begin{equation} =>\sqrt{y}=1=>y = 1 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{4}{y}\\ y_{1}=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=\frac{4}{y} & \\ y_{2}=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=4 \\ y_{1}=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=1 \\ y_{2}=4 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (4; 1) ; (1; 4) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ y^{4}+2x-3y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як
(у2 - √х)2 = у4 - 2у2√х + х,
то виділивши повний квадрат в другому
рівнянні і підставивши значення 1 замість
у2 - √х, маємо: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ y^{4}-2y^{2}\sqrt{x}+x+x-y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ (y^{2}- \sqrt{x})+x- y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ 1+x- y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ x- y^{2}\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ x- (y+\sqrt{x})\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ x- \sqrt{x}-\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ \sqrt{x}=3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+3 & \\ x=9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=4 & \\ x=9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} y_{1}=2 \\ y_{2}=-2 \end{bmatrix}& \\ x=9& \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=9 \\ y=-2 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=9 & \\ y=2. & \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (9; -2); (9; 2)
Д = 4 + 45 = 49 \begin{equation} v_{1}=\frac{2-7}{4,5}=-\frac{35}{45} \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} v_{2}=\frac{2+7}{4,5}=2 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} u=3 & \\ v=2, & \end{matrix}\right. \end{equation} тоді \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3 & \\ \sqrt{xy}=2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{2}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}=3 & \\ \sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{y}} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \frac{2+y-3\sqrt{y}}{\sqrt{y}}=0 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{y}\neq 0,y>0 \end{equation} Нехай кору = t, тоді
у - 3t + 2 = 0
Д = 9 - 8 = 1 \begin{equation} \frac{3-1}{2}=1=> \end{equation} \begin{equation} =>\sqrt{y}=1=>y = 1 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{4}{y}\\ y_{1}=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=\frac{4}{y} & \\ y_{2}=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=4 \\ y_{1}=1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=1 \\ y_{2}=4 \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (4; 1) ; (1; 4) \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ y^{4}+2x-3y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} Так, як
(у2 - √х)2 = у4 - 2у2√х + х,
то виділивши повний квадрат в другому
рівнянні і підставивши значення 1 замість
у2 - √х, маємо: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ y^{4}-2y^{2}\sqrt{x}+x+x-y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ (y^{2}- \sqrt{x})+x- y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ 1+x- y^{2}\sqrt{x}=-2 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}-\sqrt{x}=1 & \\ x- y^{2}\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ x- (y+\sqrt{x})\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ x- \sqrt{x}-\sqrt{x}+3=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+\sqrt{x} & \\ \sqrt{x}=3 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=1+3 & \\ x=9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} y^{2}=4 & \\ x=9 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} y_{1}=2 \\ y_{2}=-2 \end{bmatrix}& \\ x=9& \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=9 \\ y=-2 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=9 & \\ y=2. & \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (9; -2); (9; 2)