вправа 24.72 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.72
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
1)\sqrt{x+y-1}=1 & \\
\sqrt{x-y+2}=2y-2 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
ОДЗ:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x+y-1\geq 0 & \\
x-y+2\geq 0 & \\
2y-2\geq 0 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
2x+1\geq 0 & \\
2(y-1)\geq 0 & \\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x\geq -0,5 & \\
y\geq 1 & \\
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Піднесемо до квадрату
обидва рівняння: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+y-1=1 & \\ x-y+2=(2y-2)^{2} & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ x-y+2=4y^{2}-8y+4 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ 4y^{2}-8y+4+2y-4=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ 4y^{2}-6y=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y(2y-3)=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} y(2y - 3) = 0
y1 = 0 - сторонній корінь,
так як у ≥ 1
у2 = 1,5 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-1,5 & \\ y=1,5 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=0,5 & \\ y=1,5. & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (0,5; 1,5) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2)x-y+\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=2 & \\ x\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Із другого рівняння системи
слідує, що х = 0 або \begin{equation} \sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0. \end{equation} Але, якщо х = 0, то
х2 - 4у2 = -4у2 ≤ 0,
так як у2 ≥ 0.
Виходе, що х = 0 і у = 0
одночасно, але це протирічить
першому рівнянню. Отже система
рівноспільна системі: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-y+\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=2 & \\ \sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-y=2 & \\ x^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ (2+y)^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ 4+4y+y^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ -3y^{2}+4y+4=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
3у2 - 4у - 4 = 0
Д = 16 - 3 • 4 • (-4) = 64 \begin{equation} y_{1}=\frac{4-8}{6}=-\frac{2}{3}; \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{4+8}{6}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{4}{3} & \\ y_{1}=-\frac{2}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (4; 2); \begin{equation} (\frac{4}{3};-\frac{2}{3}) \end{equation}
обидва рівняння: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+y-1=1 & \\ x-y+2=(2y-2)^{2} & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ x-y+2=4y^{2}-8y+4 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ 4y^{2}-8y+4+2y-4=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ 4y^{2}-6y=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-y & \\ y(2y-3)=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} y(2y - 3) = 0
y1 = 0 - сторонній корінь,
так як у ≥ 1
у2 = 1,5 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2-1,5 & \\ y=1,5 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=0,5 & \\ y=1,5. & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (0,5; 1,5) \begin{equation} \left\{\begin{matrix} 2)x-y+\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=2 & \\ x\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0 & \\ \end{matrix}\right. \end{equation} Із другого рівняння системи
слідує, що х = 0 або \begin{equation} \sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0. \end{equation} Але, якщо х = 0, то
х2 - 4у2 = -4у2 ≤ 0,
так як у2 ≥ 0.
Виходе, що х = 0 і у = 0
одночасно, але це протирічить
першому рівнянню. Отже система
рівноспільна системі: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-y+\sqrt{x^{2}-4y^{2}}=2 & \\ \sqrt{x^{2}-4y^{2}}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x-y=2 & \\ x^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ (2+y)^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ 4+4y+y^{2}-4y^{2}=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2+y & \\ -3y^{2}+4y+4=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
3у2 - 4у - 4 = 0
Д = 16 - 3 • 4 • (-4) = 64 \begin{equation} y_{1}=\frac{4-8}{6}=-\frac{2}{3}; \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{4+8}{6}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{4}{3} & \\ y_{1}=-\frac{2}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=4 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: (4; 2); \begin{equation} (\frac{4}{3};-\frac{2}{3}) \end{equation}