вправа 24.74 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.74
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
cosycosx=-0,25 & \\
tgy=ctgx &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
tgy - ctgx = 0 =>
\begin{equation}
\frac{siny}{cosy}-\frac{cosx}{sinx}=0
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{sinxsiny-cosxcosy}{cosysiny}=0
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{-cos(x+y)}{cosysiny}=0
\end{equation}
cos(x + y) = 0
cosy ≠ 0
siny ≠ 0 \begin{equation} x+y=\frac{\Pi }{2}+\Pi n,n\in Z \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}(cos(y-x)+cos(y+x)=-0,25 & \\ x+y=\frac{\Pi }{2}+\Pi n,n\in Z & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} cos(\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n-x+cos(\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n+x)=-0,5 & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n,n\in Z & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)+cos(\frac{\Pi }{2}-\Pi n)=-0,5 \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)+0=-0,5 \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)=-0,5 \end{equation} \begin{equation} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n= \end{equation} \begin{equation} =\pm \frac{2\Pi }{3}+2\Pi k. \end{equation} Отже, система рівнянь
рівносильна сукупності. \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n=-\frac{2\Pi }{3}+2\Pi k,kin\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n=\frac{2\Pi }{3}+2\Pi k,kin\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} -2x=\frac{7\Pi }{6}-\Pi n+2\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} -2x=\frac{\Pi }{6}-\Pi n+2\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-2\Pi k,nik\in Z & \\ y=-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k; \end{equation} \begin{equation} -\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k); \end{equation} \begin{equation} (-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k; \end{equation} \begin{equation} \frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k); \end{equation} \begin{equation} n\in Z,k\in Z. \end{equation}
cosy ≠ 0
siny ≠ 0 \begin{equation} x+y=\frac{\Pi }{2}+\Pi n,n\in Z \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}(cos(y-x)+cos(y+x)=-0,25 & \\ x+y=\frac{\Pi }{2}+\Pi n,n\in Z & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} cos(\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n-x+cos(\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n+x)=-0,5 & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n,n\in Z & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)+cos(\frac{\Pi }{2}-\Pi n)=-0,5 \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)+0=-0,5 \end{equation} \begin{equation} cos(\frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n)=-0,5 \end{equation} \begin{equation} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n= \end{equation} \begin{equation} =\pm \frac{2\Pi }{3}+2\Pi k. \end{equation} Отже, система рівнянь
рівносильна сукупності. \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n=-\frac{2\Pi }{3}+2\Pi k,kin\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} \frac{\Pi }{2}-2x+\Pi n=\frac{2\Pi }{3}+2\Pi k,kin\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} -2x=\frac{7\Pi }{6}-\Pi n+2\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} -2x=\frac{\Pi }{6}-\Pi n+2\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{\Pi }{2}-x+\Pi n & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-2\Pi k,nik\in Z & \\ y=-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k,nik\in Z & \\ y=\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (\frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k; \end{equation} \begin{equation} -\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k); \end{equation} \begin{equation} (-\frac{\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}-\Pi k; \end{equation} \begin{equation} \frac{7\Pi }{12}+\frac{\Pi n}{2}+\Pi k); \end{equation} \begin{equation} n\in Z,k\in Z. \end{equation}