вправа 24.80 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.80
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ: \begin{equation} 1)\left\{\begin{matrix} 3\cdot (\frac{2}{3})^{2y-x}+7\cdot (\frac{2}{3})^{\frac{2y-x}{2}}=6 & \\ lg(3y-x)+lg(x+y)=lg16 & \end{matrix}\right. \end{equation} Перетворимо перше рівняння: \begin{equation} 3\cdot (\frac{2}{3})^{2y-x}+ \end{equation} \begin{equation} +7\cdot (\frac{2}{3})^{\frac{2y-x}{2}}=6 \end{equation} Нехай \begin{equation} (\frac{2}{3})^{\frac{2y-x}{2}}=t, \end{equation} t > 0, тоді
3t2 + 7t - 6 = 0
Д = 49 + 12 • 6 = 121 \begin{equation} t_{1}=\frac{-7+11}{6}=\frac{2}{3} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-7-11}{6}=-3 \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} (\frac{2}{3})^{\frac{2y-x}{2}}=\frac{2}{3} \end{equation} звідки \begin{equation} \frac{2y-x}{2}=1 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{2y-x}{2}=1 & \\ (3y-x)(x+y)=16 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y-2 & \\ (3y-2y+2)(3y-2)=16 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y-2 & \\ 3y^{2}+4y-20=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
3у2 + 4у - 20 = 0
Д = 16 - 4 • 3 • (-20) = 256 \begin{equation} y_{1}=\frac{-4-16}{6}=-\frac{10}{3} \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{-4+16}{6}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\cdot (-\frac{10}{3})-2 & \\ y_{1}=-\frac{10}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=2\cdot 2-2 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{26}{3} & \\ y_{1}=-\frac{10}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=2 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Перша пара коренів не є
розв'язком системи,
так як (х1 + у1) < 0.
Із ОДЗ х + у > 0, так як в
другому рівнянні маємо lg(x + y).
Відповідь: (2; 2). \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} log_{y}x+log_{x}y=\frac{5}{2} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ y>0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Перетворимо перше рівняння: \begin{equation} log_{y}x+log_{x}y=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} log_{y}x+\frac{1}{log_{y}x}=\frac{5}{2} \end{equation} Нехай logух = t, t ≠ 0, тоді \begin{equation} t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{2t^{2}+2-5t}{2t}=0 \end{equation} 2t2 - 5t + 2 = 0
Д = 25 - 4 • 2 • 2 = 9 \begin{equation} t_{1}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+3}{4}=2 \end{equation} \begin{equation} log_{y}x=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} x=y^{\frac{1}{2}} \end{equation} logyx = 2, x = y2 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=y^{\frac{1}{2}} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=y^{2} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ y\sqrt{y}=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=y^{2} & \\ y^{3}=8 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ \sqrt{y^{3}}=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ y=\sqrt[3]{8^{2}} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation}
3t2 + 7t - 6 = 0
Д = 49 + 12 • 6 = 121 \begin{equation} t_{1}=\frac{-7+11}{6}=\frac{2}{3} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-7-11}{6}=-3 \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} (\frac{2}{3})^{\frac{2y-x}{2}}=\frac{2}{3} \end{equation} звідки \begin{equation} \frac{2y-x}{2}=1 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{2y-x}{2}=1 & \\ (3y-x)(x+y)=16 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y-2 & \\ (3y-2y+2)(3y-2)=16 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=2y-2 & \\ 3y^{2}+4y-20=0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Розв'яжемо друге рівняння:
3у2 + 4у - 20 = 0
Д = 16 - 4 • 3 • (-20) = 256 \begin{equation} y_{1}=\frac{-4-16}{6}=-\frac{10}{3} \end{equation} \begin{equation} y_{2}=\frac{-4+16}{6}=2 \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=2\cdot (-\frac{10}{3})-2 & \\ y_{1}=-\frac{10}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=2\cdot 2-2 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{1}=-\frac{26}{3} & \\ y_{1}=-\frac{10}{3} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2}=2 & \\ y_{2}=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Перша пара коренів не є
розв'язком системи,
так як (х1 + у1) < 0.
Із ОДЗ х + у > 0, так як в
другому рівнянні маємо lg(x + y).
Відповідь: (2; 2). \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} log_{y}x+log_{x}y=\frac{5}{2} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ y>0 & \end{matrix}\right. \end{equation} Перетворимо перше рівняння: \begin{equation} log_{y}x+log_{x}y=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} log_{y}x+\frac{1}{log_{y}x}=\frac{5}{2} \end{equation} Нехай logух = t, t ≠ 0, тоді \begin{equation} t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{2t^{2}+2-5t}{2t}=0 \end{equation} 2t2 - 5t + 2 = 0
Д = 25 - 4 • 2 • 2 = 9 \begin{equation} t_{1}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{5+3}{4}=2 \end{equation} \begin{equation} log_{y}x=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} x=y^{\frac{1}{2}} \end{equation} logyx = 2, x = y2 \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=y^{\frac{1}{2}} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=y^{2} & \\ xy=8 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ y\sqrt{y}=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=y^{2} & \\ y^{3}=8 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ \sqrt{y^{3}}=8 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{y} & \\ y=\sqrt[3]{8^{2}} & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=2. & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation}
Відповідь: (2; 4); (4; 2)