вправа 24.82 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 24.82
Умова:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Розв'яжіть систему рівнянь:
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation}
1)\left\{\begin{matrix}
(xy)^{y}\cdot x^{6x}=y^{x} & \\
x^{2}y=1 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Якщо x > 0, y > 0, то
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
(xy)^{y}\cdot x^{6x}=y^{x} & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
(x\cdot \frac{1}{x^{2}})^{\frac{1}{x^{2}}}\cdot x^{6x}=(\frac{1}{x^{2}})^{x} & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x^{-\frac{1}{x^{2}}}\cdot x^{6x}=x^{-2x} & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x^{6x-\frac{1}{x^{2}}}=x^{-2x} & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
6x-\frac{1}{x^{2}}=-2x & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
6x+2x-\frac{1}{x^{2}}=0 & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
8x-\frac{1}{x^{2}}=0 & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\frac{8x^{2}-1}{x^{2}}=0 & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
8x^{3}-1=0 & \\
y=\frac{1}{x^{2}} &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\
y=4 &
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Нехай х = 1, у = 1.
Методом підстановки переконуємося,
що (1; 1) є розв'язком системи.
Відповідь: \begin{equation} (1;1);(\frac{1}{2};4) \end{equation} \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{4}y\cdot log_{y}(y-3x)=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{y}(y-3x)=\frac{1}{log_{4}y} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{y}(y-3x)=log_{4}y & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \end{equation} Перетворимо перше рівняння: \begin{equation} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} \end{equation} \begin{equation} \frac{yx^{log_{y}x}}{x^{2,5}}=1 \end{equation} \begin{equation} yx^{log_{y}x-2,5}=1 \end{equation} \begin{equation} x^{log_{y}x-2,5}=\frac{1}{y}, \end{equation} звідки \begin{equation} log_{x}\frac{1}{y}=log_{y}x-2,5 \end{equation} \begin{equation} -log_{x}y=log_{y}x-2,5 \end{equation} \begin{equation} -log_{x}y=\frac{1}{log_{x}y}-2,5 \end{equation} Нехай logxy = t, тоді \begin{equation} -t=\frac{1}{t}-2,5 \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{t}+t-2,5=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-2,5t+1}{t}=0 \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2,5+1,5}{2}=2 \end{equation} \begin{equation} log_{x}y=\frac{1}{2}, \end{equation} \begin{equation} y=x^{\frac{1}{2}},y=\sqrt{x} \end{equation} \begin{equation} log_{x}y=2, \end{equation} \begin{equation} y=x^{2} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{x} \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y=x^{2} \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{x} \\ \sqrt{x}-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y=x^{2} \\ x^{2}-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо рівняння: \begin{equation} \sqrt{x}-3x=4 \end{equation} Нехай √х = u, тоді u - 3u2 = 4
3u2 - u + 5 = 0
Д = 1 - 12 = -11 < 0
Немає розв'язків.
Отже, перша система
немає розв'язків.
х2 - 3х = 4
х2 - 3х - 4 = 0
Д = 9 - 4 • (-4) =
= 9 + 16 = 25 \begin{equation} x_{1}=\frac{3-5}{2}=-1- \end{equation} сторонній корінь так, як
x > 0 із ОДЗ \begin{equation} x_{2}=\frac{8}{2}=4 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=x^{2} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=4^{2} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=16. & \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (4; 16)
Методом підстановки переконуємося,
що (1; 1) є розв'язком системи.
Відповідь: \begin{equation} (1;1);(\frac{1}{2};4) \end{equation} \begin{equation} 2)\left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{4}y\cdot log_{y}(y-3x)=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{y}(y-3x)=\frac{1}{log_{4}y} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ log_{y}(y-3x)=log_{4}y & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} & \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \end{equation} Перетворимо перше рівняння: \begin{equation} yx^{log_{y}x}=x^{2,5} \end{equation} \begin{equation} \frac{yx^{log_{y}x}}{x^{2,5}}=1 \end{equation} \begin{equation} yx^{log_{y}x-2,5}=1 \end{equation} \begin{equation} x^{log_{y}x-2,5}=\frac{1}{y}, \end{equation} звідки \begin{equation} log_{x}\frac{1}{y}=log_{y}x-2,5 \end{equation} \begin{equation} -log_{x}y=log_{y}x-2,5 \end{equation} \begin{equation} -log_{x}y=\frac{1}{log_{x}y}-2,5 \end{equation} Нехай logxy = t, тоді \begin{equation} -t=\frac{1}{t}-2,5 \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{t}+t-2,5=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-2,5t+1}{t}=0 \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2,5+1,5}{2}=2 \end{equation} \begin{equation} log_{x}y=\frac{1}{2}, \end{equation} \begin{equation} y=x^{\frac{1}{2}},y=\sqrt{x} \end{equation} \begin{equation} log_{x}y=2, \end{equation} \begin{equation} y=x^{2} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{x} \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y=x^{2} \\ y-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{x} \\ \sqrt{x}-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} y=x^{2} \\ x^{2}-3x=4 & \end{matrix}\right. \\ \end{bmatrix} \end{equation} Розв'яжемо рівняння: \begin{equation} \sqrt{x}-3x=4 \end{equation} Нехай √х = u, тоді u - 3u2 = 4
3u2 - u + 5 = 0
Д = 1 - 12 = -11 < 0
Немає розв'язків.
Отже, перша система
немає розв'язків.
х2 - 3х = 4
х2 - 3х - 4 = 0
Д = 9 - 4 • (-4) =
= 9 + 16 = 25 \begin{equation} x_{1}=\frac{3-5}{2}=-1- \end{equation} сторонній корінь так, як
x > 0 із ОДЗ \begin{equation} x_{2}=\frac{8}{2}=4 \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=x^{2} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=4^{2} & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=16. & \end{matrix}\right. \end{equation} Відповідь: (4; 16)