вправа 25.50 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 25.50
Умова:
При яких значеннях а рівняння х3 - 13х2 - ах - 27 = 0 має три таких корені, які утворюють геометричну прогресію?
При яких значеннях а рівняння х3 - 13х2 - ах - 27 = 0 має три таких корені, які утворюють геометричну прогресію?
Відповідь ГДЗ:
х3 - 13х2 - ах - 27 = 0
гп х1 х2 х3
х, qx, q2x - корені
х = х1, х2 = qx, x3 = q2x \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+qx+q^{2}x=13 & & \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-a & & \\ x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=27 & & \end{matrix}\right. \end{equation} x • qx • q2x = 27
x3q3 = 27
(xq)3 = 27
xq = 3
x + 3 + 3q = 13
x + 3q = 10
x • xq + x • xq2 + xq • xq2 = -a
x2q + x2q2 + x2q3 = -a \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+3qx=10 & & \\ xq=3 & & \\ x^{2}q+x^{2}q^{2}+x^{2}q^{3}=-a & & \end{matrix}\right. \end{equation} x = 10 - 3q
(10 - 3q) • q = 3
-3q2 + 10q - 3 = 0
Д = 102 - 4 • (-3) • (-3) =
= 100 - 36 = 64 \begin{equation} q_{1;2}=\frac{-10\pm 8}{-6}=3;+\frac{1}{3} \end{equation} x1 = 10 - 3 • 3 = 1 \begin{equation} x_{2}=10-3\cdot \frac{1}{3}=7 \end{equation} x2q + x2q2 + x2q3 = -a
1 • 3 + 1 • 9 + 1 • 27 = -a
39 = -a
a = -39 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} q=3 & \\ x=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} a = -39
або< \begin{equation} q=\frac{1}{3} \end{equation} x = 7
x2q + x2q2 + x2q3 = -a \begin{equation} 49\cdot \frac{1}{3}+49\cdot \frac{1}{9}+ \end{equation} \begin{equation} +49\cdot \frac{1}{27}=-a \end{equation} \begin{equation} \frac{49}{3}+\frac{49}{9}+\frac{49}{27}=-a \end{equation} \begin{equation} \frac{637}{27}=-a \end{equation} a = -23,59...
х1 = 1
х2 = qx = 3
x3 = q2x = 9
(х - 1)(х - 3)(х - 9) = 0.
Відповідь: якщо а = -39, рівняння має
три кореня, які утворюють
геометричну прогресію
х3 - 13х2 - ах - 27 = 0
гп х1 х2 х3
х, qx, q2x - корені
х = х1, х2 = qx, x3 = q2x \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+qx+q^{2}x=13 & & \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-a & & \\ x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=27 & & \end{matrix}\right. \end{equation} x • qx • q2x = 27
x3q3 = 27
(xq)3 = 27
xq = 3
x + 3 + 3q = 13
x + 3q = 10
x • xq + x • xq2 + xq • xq2 = -a
x2q + x2q2 + x2q3 = -a \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+3qx=10 & & \\ xq=3 & & \\ x^{2}q+x^{2}q^{2}+x^{2}q^{3}=-a & & \end{matrix}\right. \end{equation} x = 10 - 3q
(10 - 3q) • q = 3
-3q2 + 10q - 3 = 0
Д = 102 - 4 • (-3) • (-3) =
= 100 - 36 = 64 \begin{equation} q_{1;2}=\frac{-10\pm 8}{-6}=3;+\frac{1}{3} \end{equation} x1 = 10 - 3 • 3 = 1 \begin{equation} x_{2}=10-3\cdot \frac{1}{3}=7 \end{equation} x2q + x2q2 + x2q3 = -a
1 • 3 + 1 • 9 + 1 • 27 = -a
39 = -a
a = -39 \begin{equation} \left\{\begin{matrix} q=3 & \\ x=1 & \end{matrix}\right. \end{equation} a = -39
або< \begin{equation} q=\frac{1}{3} \end{equation} x = 7
x2q + x2q2 + x2q3 = -a \begin{equation} 49\cdot \frac{1}{3}+49\cdot \frac{1}{9}+ \end{equation} \begin{equation} +49\cdot \frac{1}{27}=-a \end{equation} \begin{equation} \frac{49}{3}+\frac{49}{9}+\frac{49}{27}=-a \end{equation} \begin{equation} \frac{637}{27}=-a \end{equation} a = -23,59...
х1 = 1
х2 = qx = 3
x3 = q2x = 9
(х - 1)(х - 3)(х - 9) = 0.
Відповідь: якщо а = -39, рівняння має
три кореня, які утворюють
геометричну прогресію