вправа 25.62 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 25.62
Умова:
Для кожного цілого значення параметра а розв'яжіть рівняння:
2 - 2cos2x - 4sinх = 3а.
Для кожного цілого значення параметра а розв'яжіть рівняння:
2 - 2cos2x - 4sinх = 3а.
Відповідь ГДЗ:
2 - 2cos2x - 4sinx = 3a
2 - 2(cos2x - sin2x) - 4sinx = 3a
2 - 2(1 - sin2x - sin2x) - 4sinx = 3a
2 - 2 + 4sin2x - 4sinx = 3a
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
1) a = 0
4sin2x - 4sinx = 0
4sinx(sinx - 1) = 0
4sinx = 0
x = kπ
sinx = 1 \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+2\Pi k; \end{equation} 2) a > 0, a = 1
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
sinx = t
4t2 - 4t - 3a = 0
Д = (-4)2 - 4 • 4 • (-3а) =
= 16 + 48а
16 + 48а = 16 • (1 + 3а) \begin{equation} t_{1;2}=\frac{4\pm 4\sqrt{1+3a}}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4\pm 8}{8}=-\frac{1}{2};\frac{3}{2} \end{equation} sinx = t1 \begin{equation} sinx=-\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{6}+\Pi k \end{equation} sinx = t2 \begin{equation} sinx=\frac{3}{2} \end{equation} х ∈ Ø
а = 2
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
4sin2x - 4sinx - 6 = 0
sinx = t
4t2 - 4t - 6 = 0 : 2
2t2 - 2t - 3 = 0
Д = (-2)2 - 4 • 2 • (-3) = 28 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{2\cdot 2} \end{equation} \begin{equation} t_{1;2}=\frac{2(1\pm \sqrt{7})}{4} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{2} \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}arcsin\frac{1-\sqrt{7}}{2}+\Pi k \end{equation} a = 3
4t2 - 4t - 9 = 0
Д = 16 + 144 = 160 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{4\pm 4\sqrt{10}}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4(1\pm \sqrt{10})}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1\pm \sqrt{10}}{2} \end{equation} х ∈ Ø.
Відповідь:
якщо а = 0, то х = πk, \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+2\Pi k,k\in Z; \end{equation} якщо а = 1, то \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{6}+\Pi k,k\in Z; \end{equation} якщо а = 2, то \begin{equation} x=(-1)^{k+1}arcsin\frac{1-\sqrt{7}}{2}+\Pi k \end{equation} k ∈ Z;
якщо а = 3, ..., то х ∈ Ø.
2 - 2cos2x - 4sinx = 3a
2 - 2(cos2x - sin2x) - 4sinx = 3a
2 - 2(1 - sin2x - sin2x) - 4sinx = 3a
2 - 2 + 4sin2x - 4sinx = 3a
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
1) a = 0
4sin2x - 4sinx = 0
4sinx(sinx - 1) = 0
4sinx = 0
x = kπ
sinx = 1 \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+2\Pi k; \end{equation} 2) a > 0, a = 1
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
sinx = t
4t2 - 4t - 3a = 0
Д = (-4)2 - 4 • 4 • (-3а) =
= 16 + 48а
16 + 48а = 16 • (1 + 3а) \begin{equation} t_{1;2}=\frac{4\pm 4\sqrt{1+3a}}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4\pm 8}{8}=-\frac{1}{2};\frac{3}{2} \end{equation} sinx = t1 \begin{equation} sinx=-\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{6}+\Pi k \end{equation} sinx = t2 \begin{equation} sinx=\frac{3}{2} \end{equation} х ∈ Ø
а = 2
4sin2x - 4sinx - 3a = 0
4sin2x - 4sinx - 6 = 0
sinx = t
4t2 - 4t - 6 = 0 : 2
2t2 - 2t - 3 = 0
Д = (-2)2 - 4 • 2 • (-3) = 28 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{2\cdot 2} \end{equation} \begin{equation} t_{1;2}=\frac{2(1\pm \sqrt{7})}{4} \end{equation} \begin{equation} t_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{2} \end{equation} \begin{equation} x=(-1)^{k+1}arcsin\frac{1-\sqrt{7}}{2}+\Pi k \end{equation} a = 3
4t2 - 4t - 9 = 0
Д = 16 + 144 = 160 \begin{equation} t_{1;2}=\frac{4\pm 4\sqrt{10}}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{4(1\pm \sqrt{10})}{8}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1\pm \sqrt{10}}{2} \end{equation} х ∈ Ø.
Відповідь:
якщо а = 0, то х = πk, \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+2\Pi k,k\in Z; \end{equation} якщо а = 1, то \begin{equation} x=(-1)^{k+1}\frac{\Pi }{6}+\Pi k,k\in Z; \end{equation} якщо а = 2, то \begin{equation} x=(-1)^{k+1}arcsin\frac{1-\sqrt{7}}{2}+\Pi k \end{equation} k ∈ Z;
якщо а = 3, ..., то х ∈ Ø.