вправа 6.58 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

11 клас ➠ алгебра ➠ Істер
 
Вправа 6.58
 
 
Знайдіть множину коренів рівняння:
1) logх(125х) • log252х = 1;
2) logх2 • log2х2 = log42.

 

Умова:



Відповідь:

 

1) logх(125х) • log252х = 1
ОДЗ: х > 0. х ≠ 1
(logх125 + logхх) • log252х = 1
(logх53 + 1) • log252х = 1
(3logх5 + 1) • log522х = 1
(3logх5 + 1) • 1/2log52х = 1
logх5 = 1/log5х
1/2(3/log5х + 1)log52х = 2/1
(3/log5х + 1)log52х = 2
заміна: log5х = t
(3/t + 1)t2 = 2     log5х = t1    log5х = t2
3t2/ + t2 - 2 = 0   log5х = -2   log5х = -1
t2 + 3t - 2 = 0     х = 5-2         х = 5-1
Д = 9 - 8 = 1      х = 1/25      х = 1/5
t1;2 = (-3±1)/2
t1 = -2, t2 = -1;
2) logх2 • log2х2 = log42
logх2 = 1/log2х
log2х2 = 1/log22х
1/log2х • 1/log22х = log222
ОДЗ: х ≠ 1, х > 0
1/log2х • 1/(log22+log2х) = 1/2
1/log2х • 1/(1+log2х) = 1/2
заміна: log2х = t
ОДЗ: t ≠ 0, t ≠ -1
1/t • 1/(1+t) = 1/2
2 = t(1 + t)
t2 + t - 2 = 0
Д = 1 - 4 • (-2) = 9
t1;2 = (-1±3)/2 = -2; 1
log2х = t1    log2х = t2
log2х = -2   log2х = 1
х = 2-2        х = 2
х = 1/4.