вправа 7.52 гдз 11 клас алгебра Істер 2019
Вправа 7.52
Розв'яжіть нерівність:
1) 2log52х2 + 5log525 х - 8 ≥ 0
2) log21/3(х2 - 2х + 1) - 7log1/3(х - 1) + 3 < 0;
3) log5х + 2logх5 ≤ 3;
4) 1 + 2log0,2х + logх5 ≤ 0.
1) 2log52х2 + 5log525 х - 8 ≥ 0
2) log21/3(х2 - 2х + 1) - 7log1/3(х - 1) + 3 < 0;
3) log5х + 2logх5 ≤ 3;
4) 1 + 2log0,2х + logх5 ≤ 0.
Умова:
Відповідь:
✔ 1) 2log52х2 + 5log525 х - 8 ≥ 0
4log52х + 5(log552 + log5х) - 8 ≥ 0
4log52х + 10 + 5log5х - 8 ≥ 0
4log52х + 5log5х + 2 ≥ 0
заміна: log5х = t
4t2 + 5t + 2 ≥ 0
Д = 25 - 4 • 4 • 2 = 25 - 32 = -7
коренів немає;
✔ 2) log21/3(х2 - 2х + 1) - 7log1/3(х - 1) + 3 < 0
ОДЗ: х - 1 > 0 х > 1
log21/3(х - 1)2 - 7log(х - 1) + 3 < 0
2log21/3(х - 1) - 7log(х - 1) + 3 < 0
заміна: log1/3(х - 1) = t
2t2 - 7t + 3 > 0
Д = (-7)2 - 4 • 2 • 3 = 49 - 24 = 25
t1;2 = (7±5)/4 = 3; 0,5
t ∈ (-∞; 0,5) U (3; +∞)
log1/3(х - 1) > t2 log1/3(x - 1) < t
х - 1 > (1/3)3 х - 1 < (1/3)1/2
х - 1 > 1/27 х - 1 < √1/3
х > 1 1/27 х < 1 + √1/3
ОДЗ: х - 1 > 0 х > 1
log21/3(х - 1)2 - 7log(х - 1) + 3 < 0
2log21/3(х - 1) - 7log(х - 1) + 3 < 0
заміна: log1/3(х - 1) = t
2t2 - 7t + 3 > 0
Д = (-7)2 - 4 • 2 • 3 = 49 - 24 = 25
t1;2 = (7±5)/4 = 3; 0,5
t ∈ (-∞; 0,5) U (3; +∞)
log1/3(х - 1) > t2 log1/3(x - 1) < t
х - 1 > (1/3)3 х - 1 < (1/3)1/2
х - 1 > 1/27 х - 1 < √1/3
х > 1 1/27 х < 1 + √1/3
х ∈ (1 1/27; 1 + √1/3);
✔ 3) log5х + 2logх5 ≤ 3
ОДЗ: х > 0
logх5 = 1/log5х
log5х + 2 • 1/log5х ≤ 3
log52х + 2 ≤ 3log5х
log52х - 3log5х + 2 ≤ 0
заміна: log5х = t
t2 - 3t + 2 ≤ 0
Д = 9 - 8 = 1
t1;2 = (3±1)/2 = 2; 1
1 ≤ t ≤ 2
log5х ≥ t1 log5x ≤ t2
log5x ≥ 1 log5x ≤ 2
х ≥ 5 х ≤ 52
х ≥ 5 х ≤ 25
х ∈ [5; 25];
✔ 4) 1 + 2log0,2х + logх5 ≤ 0
ОДЗ: х > 0
1 + 2log1/5х2 + 1/(log5х) ≤ 0
1 - 2log5х2 + 1/log5х ≤ 0
-2log52х + log5х + 1 ≤ 0
заміна: log5x = t
-2t + t + 1 ≤ 0
Д = 1 - 4 • (-2) = 9
t1;2 = (-1±3)/-2 = 2; -1
-1 ≤ t ≤ 2
log5х ≥ -1
{
log5х ≤ 2
х ≥ 1/5
х ≤ 25
х ∈ [1/5; 25].