вправа 8.20 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

Вправа 8.20

Розв'яжіть систему рівнянь:
3^х + 4^у = 7
1) {
3^х • 4^у = 12;
3^х - 2^у = 2
2) {
2^2у+1 - 3^х + 2^у+2 = 4 + 3^2х;
3^х + 2^у = 11
3) {
3^х-1 - 2^у+1 = -1;
5^х - 2^х+у+1 = -7
4) {
5^х+1 - 2^х+у = 1.

Умова:

Відповідь:

3^х + 4^у = 7
1) {
3^х • 4^у = 12
нехай 3^х = а, 4^у = b
а + b = 7
{ a = 7 - b
a • b = 12
b(7 - b) - 12 = 0
-b² + 7b - 12 = 0
Д = (17)² - 4 • (-12) • (-1) = 49 - 48 = 1
b_1;2 = (-7±1)/-2 = +4; +3
а₁ = 7 - (+4) = 3
а₂ = 7 - (+3) = 4
а₁ = 3 3^х = 3 х₁ = 1
b₁ = +4 4^у = +4 у₁ = 1

a₂ = 4 3^x = 4 x₂ = log₃4
b₂ = +3 4^y = +3 y₂ = log43
х₁ = 1 у₁ = 1
х₂ = log₃4 у₂ = log₄3;
3^х - 2^у = 2
2) {
2^2у+1 - 3^х + 2^у+2 = 4 + 3^2х
3^х = 2 + 2^у
2^2у+1 + 2 + 2^у + 2^у+2 = 4 + (2 + 2у)²
2^2у • 2 + 2 + 2^у + 2² • 2^у = 4 + 4 + 4 • 2^у + 2^2у
2 • 2^2у + 2 + 2^у + 4 • 2^у = 8 + 4 • 2^у + 2^2у
2 • 2^2у + 2^у + 2 - 8 - 2^2у = 0
2^2у + 2^у - 6 = 0
заміна: 2^у = t, t > 0
t² + t - 6 = 0
Д = 1 - 4 • (-6) = 25
t_1;2 = (-1±5)/2 = -3; 2
2^у = t 2^у = 2 у = 1
3^х = 2 + 2¹ = 4 3^х = 4
x = log₃4
x = log₃4
{
y = 1;
3^х + 2^у = 11
3) {
3^х-1 - 2^у+1 = -1
3^х + 2^у = 11
{
3^х/3 - 2^у • 2 = -1
3х + 2у = 11
{
3х - 6 • 2у = -3
3^х = а, 2^у = b
а + b = 11
{
a - 6 • b = -3 • (-1)
a + b = 11
+{
-a + 6b = 3
7b = 14
b = 2
a + b = 11
a = 11 - b
a = 9
3^x = a 2^y = b
3^x = 9 2^y = 2
3^x = 3² y = 1
x = 2
x = 2
{
y = 1;
5^х - 2^х+у+1 = -7
4) {
5^х+1 - 2^х+у = 1
5^х - 2^х • 2^у • 2 = -7 5^х = а, 2^х+у = b
{
5^х • 5 - 2^х • 2у = 1
а - 2b = -7
{
5a - b = 1 • (-2)
a - 2b = -7
+{
-10a + 2b = -2
-9а = -9
а = 1
5^х = 1
5^х = 5⁰
х = 0
1 - 2b = -7
-2b = -7 - 1
-2b = -8
b = 4
2^x+y = 4
2^0+y = 2²
2^y = 2²
y = 2
х = 0
{
у = 2.