вправа 8.22 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

Вправа 8.22

Розв'яжіть систему рівнянь:
3^х2+у2 = 81
1) {
log₂х + 2log₄у = 1;
3log₂₇х + 2log₉у = 3log₃2
2) {
х² + у² = 20.

Умова:

Відповідь:

3^х2+у2 = 81
1) {
log₂х + 2log₄у = 1
x > 0
ОДЗ: {
y > 0
3^х2+у2 = 81
{
log₂х + logу = 1
3^х2+у2 = 3⁴
{
log₂(х • у) = 1
х² + у² = 4
{
ху = 2
х = 2/у
(2/у)² + у² - 4 = 0
4/у² + у² - 4 = 0
у⁴ - 4у² + 4 = 0
(у² - 2)² = 0
у₁ = -√2, у₂ = √2
х = 2/у = 2/±√2 = ±√2
х₁ = -√2 - не підходить під ОДЗ
{
у₁ = -√2
х₂ = √2
{
у₂ = √2
Відповідь: х = √2, у = √2;
3log₂₇х + 2log₉у = 3log₃2
2) {
х² + у² = 20
х > 0
ОДЗ: {
у > 0
3 • 1/3log₃х + 2 • 1/2 • log₃у = log₃2^-3
log₃х + log₃у = log₃8
{
х² + у² = 20
log₃(х • у) = log₃8
{
х² + у² = 20
х • у = 8
{
х² + у² = 20
х = 8/у
(8/у)² + у² - 20 = 0
64/у² + у² - 20 = 0
у⁴ - 20у² + 64 = 0
заміна: у² = t
t² - 20t + 64 = 0
Д = (-20)² - 4 • 64 = 400 - 256 = 144
t_1;2 = (20±12)/2
t₁ = 4; 16
у² = t₁ у² = t₂
у² = 4 у² = 16
у₁ = 2 у₂ = 4
х₁ = 8/у₁ х₂ = 8/у₂
х₁ = 8/2 х₂ = 8/4
х₁ = 4 х₂ = 2
х₁ = 4 х₂ = 2
{ {
у₁ = 2 у₂ = 4.