вправа 8.34 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

11 клас ➠ алгебра ➠ Істер
 
Вправа 8.34
 
 
Розв'яжіть систему рівнянь:
      logух - 2logху = 1
1) {
      х2 + 2у2 = 3;
      logух - 2logху = 1
2) {
      х2 + 2у2 = 3.

 

Умова:

 

 

Відповідь:

 

         logух - 2logху = 1
✔1) {
         х2 + 2у2 = 3
ОДЗ: у ≠ 1, у > 0, х > 0
logух - 2/logух = 1
logу2х - logух - 2 = 0
заміна: logух = t
t2 - t - 2 = 0
Д = (-1)2 - 4 • (-2) = 9
t1;2 = (1±3)/2
t1 = -1, t2 = -1
logух = -1
х = у-1
х = 1/у
  ху = 1
{
  х2 + 2у2 = 3
(1/у)2 + 2у2 - 3 = 0
1 + 2у4 - 3у2 = 0
заміна: у2 = а
2а2 - 3а + 1 = 0
Д = (-3)2 - 4 • 2 = 1
а1;2 = (3±1)/2 = 2; 1
у = 1 - не підходить під ОДЗ
у2 = 2, у = √2
х = 1/у, х = 1/√2 = √2/2
logух = 2
logух = t2
х = у2
х2 + 2у2 - 3 = 0
у2 + 2у2 - 3 = 0
3у2 = 3
у2 = 1
у = ±1
у = 1 - не підходить під ОДЗ; -1.
Відповідь:
  х = √2/2
{
  у = √2;
          logух - 2logху = 1
✔ 2) {
          х2 + 2у2 = 3
ОДЗ: у > 0, х > 0, х ≠ 1, у ≠ 1
logух = 1/logху
1/logху - 2logху = 1
1 - 2logх2у - logху = 0
заміна: logху = t
-2t2 - t + 1 = 0
Д = (-1)2 - 4 • (-2) • 1 = 9
t1;2 = (1±3)/-4 = -1; 1/2
logху = t1
logху = -1
у1 = х-1 = 1/х
х2 + 2у2 - 3 = 0
х2 + 2 • (1/х)2 - 3 = 0
х2 + 2/х2 - 3 = 0
х4 + 2 - 3х2 = 0
х2 - 3х2 + 2 = 0
заміна: х4 = а2
а2 - 3а + 2 = 0
Д = (-3)2 - 4 • 2 = 1
а1;2 = (3±1)/2
а1;2 = 2; 1
х2 = а1  х2 = а2
х2 = 1   х2 = 2
х1;2 = ±1 х3;4 = ±√2
у1;2 = 1/х1;2
у1;2 = ±1 у3;4 = ±1/√2
logху = t2
logху = 1/2
у2 = х1/2 або х = кору
х2 + 2у2 - 3 = 0
у + 2у2 - 3 = 0
2у2 + у - 3 = 0
Д = 1 - 4 • (-3) • 2 = 25
у1;2 = (-1±5)/2
у1;2 = -3; 2
х = √у   у1 = -3 - не підходить під ОДЗ
х = √2
Відповідь: х = √2, у = 1/√2