Завдання для перевірки знань до §§1-3 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

11 клас ➠ алгебра ➠ Істер

Завдання для перевірки знань до §§1-3

1 № 1

Умова:

Порівняйте х і у, якщо: 1) 0,9^х < 0,9^у; 2) 1,5^х < 1,5^у.

Відповідь:

х, у - ?
1) 0,9^х < 0,9y y < x
2) 1,5^x < 1,5^y y > x

№ 2

Умова:

Розв'яжіть рівняння: 1) 2^х = 16; 2) (1/3)^х+2 = 1/27.

Відповідь:

1) 2^х = 16; 2) (1/3)^х+2 = 1/27
2^х = 2⁴ (1/3)^х+2 = (1/3)³
х = 4 х + 2 = 3 х = 1.

№ 3

Умова:

Розв'яжіть нерівність: 1) 3^х > 3⁵; 2) (1/2)^х ≤ (1/2)³.

Відповідь:

1) 3^х > 3⁵
x > 5

Завдання для перевірки знань до §§1-3 гдз 11 клас алгебра Істер 2019

х є (5; +∞)

2) (1/2)^x ≤ (1/2)³

x ≥ 3

х є [3; +∞)

2 № 4

Умова:

Побудуйте схематично графік функції у = 0,8х та запишіть її властивості.

Відповідь:

у = 0,8^х

х	-2	-1	0	1	2
у	1,6	1,25	1	0,8	0,64

Властивості:
1. ОВФ: х є R;
2. ОЗФ: Е = (0; +∞);
3. функція ні парна, ні непарна;
4. точки перетину з осями координат
оу: (0; 1) ох: немає;
5. функція спадка;
6. y > 0 при х є R;
7. min y; max y - не має.

№ 5

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1)(0,25)^х2+х=(0,25)^3-х; 2) 3^х+1 - 3^х = 18.

Відповідь:

1) (0,25)^х2+х = (0,25)^3-х
х² + х = 3 - х
х² + х - 3 + х = 0
х² + 2х - 3 = 0
Д = 2² - 4 • (-3) = 16
х_1;2 = (-2±4)/2, х₁ = -3, х₂ = 1;

2) 3^х+1 - 3^х = 18
3^х • 3 - 3^х = 18
2 • 3^х = 18
3^х = 9
3^х = 3²
х = 2.

№ 6

Умова:

Розв'яжіть нерівність: 1) 4^2х-1 > 64; 2) (1/4)^-3x ≤ 8.

Відповідь:

1) 4^2х-1 > 64
4^2x-1 > 4³
2x - 1 > 3
2x > 4
x > 2

х є (2; +∞)

2) (1/4)^-3x ≤ 8
(2-2)^-3x ≤ 1/2³
2^6x ≤ 2³
6x ≤ 3
x ≤ 1/2

х є (-∞; 0,5].

3 № 7

Умова:

Обчисліть: 1) 4^√7-1 • 2^3-2√7; 2) 3^(1-√5)2 : 3^4-2√5.

Відповідь:

1) 4^√7-1 • 2^3-2√7
2^2(√7-1) • 2^3-2√7 = 2^{2√7-2+3-2√7} = 2¹ = 2;

2) 3^(1-√5)2 : 3^4-2√5
3^1-2√5+5 : 3^4-2√5 = 3^{1-2√5+5-4+2√5} = 3² = 9.

№ 8

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1) 2^2х+2 + 2 • 2^х+1 = 8; 2) (3/√10)^2х2-8 = 0,81^-1,5х.

Відповідь:

1) 2^2х+2 + 2 • 2^х+1 = 8
2^2(х+1) + 2 • 2^х+1 - 8 = 0
заміна: 2^х+1 = t, t > 0
t² + 2t - 8 = 0
Д = 2² - 4 • (-8) • 1 = 4 + 32 = 36
t_1;2 = (-2±6)/2, t₁ = -4 не підходить, t₂ = 2
2^х+1 = t₂
2_x+1 = 2¹
x + 1 = 1
x = 1 - 1
x = 0.

4 № 9

Умова:

Розв'яжіть нерівність 5^х+1 - 3^х+2 ≥ 43 • 5^x-1 - 19 • 3^x.

Відповідь:

5^х+1 - 3^х+2 ≥ 43 • 5^x-1 - 19 • 3^x
5^x • 5¹ - 43 • 5^x • 5^-1 ≥ 3^x • 3² - 19 • 3^x
5^x • 5 - 43 • 5^x/5 ≥ 3^x • 9 - 19 • 3^x
25 • 5^x - 43 • 5^x ≥ 45 • 3^x - 95 • 3^x
-18 • 5^x ≥ -50 • 3^x • (-1)
18 • 5^x ≤ 50 • 3^x : 3^х : 50
(18 • 5^x)/(50 • 3^x) ≤ 1
(9 • 5^x)/(25 • 3^x) ≤ 1
(5/3)^x • (3/5)² ≤ 1
(5/3)^x ≤ (5/3)²
y = (5/3)^t зростаюча функція, =>
х ≤ 2

х є (-∞; 2].

3 № 10

Умова:

Знайдіть область визначення функції у = √25^х - 5^х+4.

Відповідь:

ОВФ - ?
у = √25^х - 5^х+4
25^х - 5^х+4 ≥ 0
5^2x - 5^x • 5⁴ ≥ 0
5^x(5^x - 5⁴) ≥ 0
метод інтервалів:
5^х = 0 5^х - 5⁴ = 0
Ø 5^х = 5⁴
х = 4

х є [4; +∞).

4№11

Умова:

Розв'яжіть рівняння (3 - 2√2)^х + (3 + 2√2)^х = 6.

Відповідь:

(3 - 2√2)^х + (3 + 2√2)^х = 6
(3 - 2√2) • (3 + 2√2) = 9 - 8 = 1, =>
(3 - 2√2) = 1/(3 + 2√2)
нехай:
(3 - 2√2)^х = t, t > 0
t + 1/t - 6 = 0
t² - 6t + 1 = 0
Д = (-6)² - 4 = 36 - 4 = 32
√32 = √16 • 2 = 4√2
t_1;2 = (6±4√2)/2 = (2(3±2√2))/2 = 3±2√2
(3 - 2√2)^х = 3 + 2√2 (3 - 2√2)^х = 3 - 2√2
х = -1 х = 1.