вправа 1.102 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.102
Умова:
Доведіть, що більша діагональ правильної шестикутної призми менша від подвоєної діагоналі бічної грані.
Відповідь:
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна шестикутна призма,
ABCDEF - основа (мал. 74).
Доведемо, що AD1 < 2ED1
Так як ABCDEF - правильний шестикутник, то його кут
(180°(6 - 2)/6) = (180° • 4)/6 = 120°
Розглянемо трапецію ADEF, в ній ∠Е = ∠F = 120°, тоді ∠D = A = 60°, AD = 2EF.
Із ΔADD1 (∠D = 90°)
AD1 = √АD2 + DD12 = √(2EF)2 + DD12 = √4EF2 + DD12.
Із ΔD1DЕ (∠D = 90°), D1Е = √EF2 + DD12.
Доведемо нерівність:
АD1 < 2ED1
(√4EF2 + DD12) < 2 • √EF2 + DD12
4EF2 + DD12 < 4(EF2 + DD12)
4EF2 + DD12 - 4EF2 - 4DD12 < 0
-3 • DD12 < 0 I : (-3)
DD12 > 0
Так як DD1 - висота призми, то DD12 > 0, що і треба було довести.
Отже, AD1 < 2ED1.
ABCDEF - основа (мал. 74).
Доведемо, що AD1 < 2ED1
Так як ABCDEF - правильний шестикутник, то його кут
(180°(6 - 2)/6) = (180° • 4)/6 = 120°
Розглянемо трапецію ADEF, в ній ∠Е = ∠F = 120°, тоді ∠D = A = 60°, AD = 2EF.
Із ΔADD1 (∠D = 90°)
AD1 = √АD2 + DD12 = √(2EF)2 + DD12 = √4EF2 + DD12.
Із ΔD1DЕ (∠D = 90°), D1Е = √EF2 + DD12.
Доведемо нерівність:
АD1 < 2ED1
(√4EF2 + DD12) < 2 • √EF2 + DD12
4EF2 + DD12 < 4(EF2 + DD12)
4EF2 + DD12 - 4EF2 - 4DD12 < 0
-3 • DD12 < 0 I : (-3)
DD12 > 0
Так як DD1 - висота призми, то DD12 > 0, що і треба було довести.
Отже, AD1 < 2ED1.