вправа 1.107 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.107
Умова:
Площа бічної поверхні правильної шестикутної призми в 4 рази більша за площу її основи. Знайдіть кут, який утворює із площиною основи:
1) діагональ бічної грані;
2) менша діагональ призми.
1) діагональ бічної грані;
2) менша діагональ призми.
Відповідь:
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна призма,
ABCDEF - правильний шестикутник, основа (мал. 78), Sбіч. = 4Sосн.
Знайдемо: 1) ∠ВАВ1; 2) ∠BFB1.
Нехай а - сторона шестикутника.
1) Sбіч. = Pl = 6a • l
Sосн. = 3√3/2а2
4 • 3√3/2а2 = 6al
√3а = l
l/а = √3
Із ΔАВВ1 (∠В = 90°)
tg∠ВАВ1 = ВВ1/АВ
tg∠ВАВ1 = l/a, тоді tg∠ВАВ1 = √3.
Звідки ∠ВАВ1 = 60°
2) Розглянемо ΔABF - рівнобедренний,
AF = AB, ∠BAF = (180°(6-4)/6) = 120°
За теоремою косинусів:
FB = √АF2 + АВ2 - 2АF • АВcos∠FAB
FB = √а2 + а2 - 2а2cos120°
FB = а√2(1 - cos120°)
FB = а√2(1 + 0,5)
FB = а√2 • 3/2 = а√3
Так як l = √3а, то l = FB = BB.
Тобто ΔВ1ВF - прямокутний рівнобедренний, тому ∠BFB1 = 45°.
Відповідь: 1) 60°; 2) 45°.
ABCDEF - правильний шестикутник, основа (мал. 78), Sбіч. = 4Sосн.
Знайдемо: 1) ∠ВАВ1; 2) ∠BFB1.
Нехай а - сторона шестикутника.
1) Sбіч. = Pl = 6a • l
Sосн. = 3√3/2а2
4 • 3√3/2а2 = 6al
√3а = l
l/а = √3
Із ΔАВВ1 (∠В = 90°)
tg∠ВАВ1 = ВВ1/АВ
tg∠ВАВ1 = l/a, тоді tg∠ВАВ1 = √3.
Звідки ∠ВАВ1 = 60°
2) Розглянемо ΔABF - рівнобедренний,
AF = AB, ∠BAF = (180°(6-4)/6) = 120°
За теоремою косинусів:
FB = √АF2 + АВ2 - 2АF • АВcos∠FAB
FB = √а2 + а2 - 2а2cos120°
FB = а√2(1 - cos120°)
FB = а√2(1 + 0,5)
FB = а√2 • 3/2 = а√3
Так як l = √3а, то l = FB = BB.
Тобто ΔВ1ВF - прямокутний рівнобедренний, тому ∠BFB1 = 45°.
Відповідь: 1) 60°; 2) 45°.