вправа 1.52 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.52
Умова:
АВСА1В1С1 - правильна трикутна призма, точка М - точка перетину медіан трикутника АС1В1, МК ┴ (ABC), МК = АВ/3. Знайдіть ∠C1BC.
Відповідь:
Нехай АМ1 - медіана ΔАВ1С1, АК1 = АК ∩ ВС.
Розглянемо ΔАМ1К1 і ΔАМК (мал. 28).
Ці трикутники подібні (∠А - спільний, ∠МКА = 90°, ∠М1К1А = 90°).
Так як т. М - точка перетину медіан, то АМ/ММ1 = 2/1, тоді АМ/АМ1 = 2/3.
Із ΔАМ1К1 ∼ ΔАМК слідує, що МК/М1К1 = АМ/АМ1 = 2/3,
тобто МК/М1К1 = 2/3, звідки М1К1 = 3/2МК = 3/2 • АВ/3 = АВ/2.
Тоді СС1 = М1К1 = АВ/2 = СВ/2.
Із ΔСВС1 tg∠СВС1 = СС1/СВ; tg∠СВС1 = СВ/2СВ; tg∠СВС1 = 1/2.
Тоді ∠СВС1 = 26,5°.
Відповідь: tg∠СВС1 = 1/2, ∠СВС1 = 26,5°.
Розглянемо ΔАМ1К1 і ΔАМК (мал. 28).
Ці трикутники подібні (∠А - спільний, ∠МКА = 90°, ∠М1К1А = 90°).
Так як т. М - точка перетину медіан, то АМ/ММ1 = 2/1, тоді АМ/АМ1 = 2/3.
Із ΔАМ1К1 ∼ ΔАМК слідує, що МК/М1К1 = АМ/АМ1 = 2/3,
тобто МК/М1К1 = 2/3, звідки М1К1 = 3/2МК = 3/2 • АВ/3 = АВ/2.
Тоді СС1 = М1К1 = АВ/2 = СВ/2.
Із ΔСВС1 tg∠СВС1 = СС1/СВ; tg∠СВС1 = СВ/2СВ; tg∠СВС1 = 1/2.
Тоді ∠СВС1 = 26,5°.
Відповідь: tg∠СВС1 = 1/2, ∠СВС1 = 26,5°.