вправа 1.67 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

 
Вправа 1.67
 
Умова:
 
Діагональ бічної грані правильної шестикутної призми дорівнює більшій діагоналі основи. Знайдіть кут між діагоналями бічної грані цієї призми.
 
 
Відповідь:
 
вправа 1.67 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
 
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна призма,
ABCDEF - основа, А1В = AD.
Знайдемо ∠А1ОВ, де т. О - точка перетину А1В і АВ.

Позначимо d = AD = А1В = АВ,
(АА1В1В - прямокутника, тому АВ = А1В).

Так як АD - діаметр описаного кола, то ∠ABD = 90°.
ΔABD = ΔА1АВ (∠ABD = ∠А1АВ = 90°,
АВ - спільний катет, АD = А1В за умовою), тоді АА1 = BD.

Із ΔABD (∠В = 90°)
∠DAB = ∠FAB/2 = 120°/2 = 60°.
(∠FAB = 120°, так як ABCDEF - правильний шестикутник),
∠ADB = 30°, тоді АВ = AD/2 = d/2.

BD = ADcos30° = d√3/2;
Отже, АА1 = BD = d√3/2.
АА1В1В - прямокутник, тоді його площа
SАА1В1В = АА1 • АВ = d√3/2 • d/2 • d2√3/4.

З іншого боку
SАА1В1В = 1/2АВ1 • А1Вsin∠А1ОВ = 1/2d • d • sin∠А1ОВ = 1/2d2sin∠А1ОВ.

Розв'яжемо рівняння:
d2√3/4 = 1/2d2sin∠А1ОВ
Звідки sin∠А1ОВ = √3/2, тоді ∠А1ОВ = 60°.
Відповідь: 60°