вправа 1.68 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.68
Умова:
Основа призми - прямокутний трикутник, а дві бічні грані призми - квадрати. Знайдіть кут між діагоналями двох рівних між собою граней, якщо ці діагоналі виходять з однієї вершини.
Відповідь:
Нехай АВСА1В1С1 - пряма призма,
ΔАВС - основа, прямокутний (∠АСВ = 90°),
АА1С1С, ВВ1С1С - квадрати.
Знайдемо ∠А1СВ1 (мал. 42).
Позначимо АС = СВ = СС1 = а.
Так як АА1С1С і ВВ1С1С - квадрати, причому рівні між собою
(СС1 - спільна сторона), то А1С = В1С.
Тоді ΔА1СВ1 - рівнобедренний.
Із ΔАВС (∠С = 90°) за теоремою Піфагора: АВ2 = АС2 + ВС2
АВ2 = а2 + а2 = 2а2
АВ = а√2, тоді А1В1 = а√2.
Із ΔАА1С (∠А = 90°)
А1С2 = АС2 + А1А2 = а2 + а2 = 2а2
А1С = √2а2 = а√2
Отже, в ΔА1В1С А1С = В1С = а√2,
А1В = а√2, тому ΔА1В1С - рівносторонній.
Значить ∠А1СВ1 = 60°.
Відповідь: 60°
ΔАВС - основа, прямокутний (∠АСВ = 90°),
АА1С1С, ВВ1С1С - квадрати.
Знайдемо ∠А1СВ1 (мал. 42).
Позначимо АС = СВ = СС1 = а.
Так як АА1С1С і ВВ1С1С - квадрати, причому рівні між собою
(СС1 - спільна сторона), то А1С = В1С.
Тоді ΔА1СВ1 - рівнобедренний.
Із ΔАВС (∠С = 90°) за теоремою Піфагора: АВ2 = АС2 + ВС2
АВ2 = а2 + а2 = 2а2
АВ = а√2, тоді А1В1 = а√2.
Із ΔАА1С (∠А = 90°)
А1С2 = АС2 + А1А2 = а2 + а2 = 2а2
А1С = √2а2 = а√2
Отже, в ΔА1В1С А1С = В1С = а√2,
А1В = а√2, тому ΔА1В1С - рівносторонній.
Значить ∠А1СВ1 = 60°.
Відповідь: 60°