вправа 1.93 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.93
Умова:
Діагоналі правильної шестикутної призми дорівнюють 17 см і 15 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
Відповідь:
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна призма (мал. 67), В1F = 15 см, В1F = 17 см.
Знайдемо Sбіч.
Sбіч. = Pl
Нехай а - сторона шестикутника ABCDEF.
Так як призма правильна, то ABCDEF - правильний.
Знайдемо його кут: ∠AFЕ = (180°(6-2)/6) = (180°•4)/6 = 120°.
ΔАВF - правильний, тоді ∠АВF = ∠AFB = (180° - 120°) : 2 = 30°.
Тоді ∠BFE = 120° - 30° = 90°, отже ΔBFE - прямокутний (∠BFE = 90°).
∠FEB = (360° - 2 • 120°) : 2 = 120° : 2 = 60° (із чотирикутника АВЕF - сума кутів 360°).
Розглянемо ΔBFE (∠BFE = 90°), тоді ∠FBE = 30°.
Якщо FE = a, то ВЕ = 2а, BF = atg60° = а√3.
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = B1F2 - BF2
B1B2 = 152 - (a√3)2 = 225 - 3а2
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = В1F2 - BE2
B1B2 = 172 - (2а)2 = 2 • 89 - 4а2
Складемо і розв'яжемо рівняння:
225 - 30а2 = 289 - 4а2
а2 = 64
а = 8
Тоді l2 = BB12 = 225 - 3 • 82 = 33 (см2)
l = √33, Р = 6 • а
Sбіч. = 6 • 8 • √33 = 48√33 (см2).
Відповідь: 48√33 см2
Знайдемо Sбіч.
Sбіч. = Pl
Нехай а - сторона шестикутника ABCDEF.
Так як призма правильна, то ABCDEF - правильний.
Знайдемо його кут: ∠AFЕ = (180°(6-2)/6) = (180°•4)/6 = 120°.
ΔАВF - правильний, тоді ∠АВF = ∠AFB = (180° - 120°) : 2 = 30°.
Тоді ∠BFE = 120° - 30° = 90°, отже ΔBFE - прямокутний (∠BFE = 90°).
∠FEB = (360° - 2 • 120°) : 2 = 120° : 2 = 60° (із чотирикутника АВЕF - сума кутів 360°).
Розглянемо ΔBFE (∠BFE = 90°), тоді ∠FBE = 30°.
Якщо FE = a, то ВЕ = 2а, BF = atg60° = а√3.
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = B1F2 - BF2
B1B2 = 152 - (a√3)2 = 225 - 3а2
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = В1F2 - BE2
B1B2 = 172 - (2а)2 = 2 • 89 - 4а2
Складемо і розв'яжемо рівняння:
225 - 30а2 = 289 - 4а2
а2 = 64
а = 8
Тоді l2 = BB12 = 225 - 3 • 82 = 33 (см2)
l = √33, Р = 6 • а
Sбіч. = 6 • 8 • √33 = 48√33 (см2).
Відповідь: 48√33 см2