вправа 1.94 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 1.94
Умова:
Діагоналі правильної шестикутної призми дорівнюють 8 см і 7 см. Знайдіть висоту призми.
Відповідь:
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна шестикутна призма, B1F = 7 см, В1Е = 8 см.
Знайдемо висоту призми (мал. 57).
ABCDEF - правильний шестикутник, тоді його кут (180°(6-2)/6) = 120°.
Розглянемо чотирикутник ABEF, сума його кутів 360°, так як ∠BAF = ∠EFA = 120° то
∠АВЕ = ∠FEB = (360° - 2 • 120°) : 2 = 60°.
Розглянемо ΔABF - рівнобедренний, тоді ∠ABF = ∠BFA = (180° - 120°) : 2 = 30°,
отже ∠BFE = 120° - 30° = 90°.
Звідси слідує, що ΔBFE - прямокутний, причому ∠EBF = 30°, ∠BEF = 60°, тому, якщо
позначити FE = а, то ВЕ = 2а, BF = atg60° = а√3.
Із ΔВ1ВF (∠В = 90°)
В1В2 = В1F2 - BF2
B1B2 = 72 - (а√3)2 = 49 - 3а2
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = В1Е2 - ВЕ2
В1В2 = 82 - (2а)2 = 64 - 4а2
Розв'яжемо рівняння:
49 - 3а2 = 64 - 4а2
а2 = 15
а = √15
Тоді висота призма
ВВ1 = √64 - 4 • 15 = √4 = 2 (см).
Відповідь: 2 см
Знайдемо висоту призми (мал. 57).
ABCDEF - правильний шестикутник, тоді його кут (180°(6-2)/6) = 120°.
Розглянемо чотирикутник ABEF, сума його кутів 360°, так як ∠BAF = ∠EFA = 120° то
∠АВЕ = ∠FEB = (360° - 2 • 120°) : 2 = 60°.
Розглянемо ΔABF - рівнобедренний, тоді ∠ABF = ∠BFA = (180° - 120°) : 2 = 30°,
отже ∠BFE = 120° - 30° = 90°.
Звідси слідує, що ΔBFE - прямокутний, причому ∠EBF = 30°, ∠BEF = 60°, тому, якщо
позначити FE = а, то ВЕ = 2а, BF = atg60° = а√3.
Із ΔВ1ВF (∠В = 90°)
В1В2 = В1F2 - BF2
B1B2 = 72 - (а√3)2 = 49 - 3а2
Із ΔB1BF (∠В = 90°)
В1В2 = В1Е2 - ВЕ2
В1В2 = 82 - (2а)2 = 64 - 4а2
Розв'яжемо рівняння:
49 - 3а2 = 64 - 4а2
а2 = 15
а = √15
Тоді висота призма
ВВ1 = √64 - 4 • 15 = √4 = 2 (см).
Відповідь: 2 см