вправа 10.100 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 10.100
Умова:
Основою піраміди QABC є трикутник ABC, у якого СА = 4 см, СВ = 12 см. Відрізок СК - бісектриса трикутника ABC. Об'єм піраміди QCKB дорівнює 15 см3. Знайдіть об'єм піраміди QABC.
Відповідь ГДЗ:
Нехай QАВС - піраміда, СК - бісектриса ΔАВС,
СА = 4 см, СВ = 12 см, VQСКВ = 15 см3.
Знайдемо VQАВС.
VQАВС = VQСКВ + VQСКА \begin{equation} V_{QABC}=V_{QCKB}+V_{QCKA} \end{equation} \begin{equation} V_{QCKB}=\frac{1}{3}h\cdot S_{\Delta CKB} \end{equation} де SΔСКВ - площа ΔСКВ. \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{1}{3}h\cdot S_{\Delta CKA} \end{equation} де SΔСКА - площа ΔСКА.
h - висота піраміда QАВС.
Піраміди QСКВ, QСКА та QАВС мають однакові висоти h. \begin{equation} S_{\Delta CKB}=\frac{1}{2}CK\cdot CBsin\angle BCK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 12\cdot CK\cdot sin\angle BCK= \end{equation} \begin{equation} =6CK\cdot sin\angle BCK; \end{equation} \begin{equation} S_{\Delta CKA}=\frac{1}{2}CK\cdot CAsin\angle ACK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot CK\cdot sin\angle ACK= \end{equation} \begin{equation} =2CK\cdot sin\angle ACK. \end{equation} Так, як СК - бісектриса ΔАВС, то
∠ВСК = ∠АСК, отже
SΔСКА = 2СК • sin∠АСК =
= 2СКsin∠ВСК.
Знайдемо відношення об'ємів пірамід: \begin{equation} \frac{V_{QCKB}}{V_{QCKA}}=\frac{\frac{1}{3}hS_{\Delta CKB}}{\frac{1}{3}
hS_{\Delta CKA}}=
\end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{1}{3}h\cdot 6\cdot CK\cdot sin\angle BCK}{\frac{1}{3}h\cdot
2CK\cdot sin\angle BCK}. \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{QCKB}}{V_{QCKA}}=\frac{6}{2}=3, \end{equation} \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{V_{QCKB}}{3}
\end{equation} \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{15}{3}=5(CM^{3}) \end{equation} VQАВС = 15 + 5 = 20 (см3).
Відповідь: 20 см3
Нехай QАВС - піраміда, СК - бісектриса ΔАВС,
СА = 4 см, СВ = 12 см, VQСКВ = 15 см3.
Знайдемо VQАВС.
VQАВС = VQСКВ + VQСКА \begin{equation} V_{QABC}=V_{QCKB}+V_{QCKA} \end{equation} \begin{equation} V_{QCKB}=\frac{1}{3}h\cdot S_{\Delta CKB} \end{equation} де SΔСКВ - площа ΔСКВ. \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{1}{3}h\cdot S_{\Delta CKA} \end{equation} де SΔСКА - площа ΔСКА.
h - висота піраміда QАВС.
Піраміди QСКВ, QСКА та QАВС мають однакові висоти h. \begin{equation} S_{\Delta CKB}=\frac{1}{2}CK\cdot CBsin\angle BCK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 12\cdot CK\cdot sin\angle BCK= \end{equation} \begin{equation} =6CK\cdot sin\angle BCK; \end{equation} \begin{equation} S_{\Delta CKA}=\frac{1}{2}CK\cdot CAsin\angle ACK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot CK\cdot sin\angle ACK= \end{equation} \begin{equation} =2CK\cdot sin\angle ACK. \end{equation} Так, як СК - бісектриса ΔАВС, то
∠ВСК = ∠АСК, отже
SΔСКА = 2СК • sin∠АСК =
= 2СКsin∠ВСК.
Знайдемо відношення об'ємів пірамід: \begin{equation} \frac{V_{QCKB}}{V_{QCKA}}=\frac{\frac{1}{3}hS_{\Delta CKB}}{\frac{1}{3}
hS_{\Delta CKA}}=
\end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{1}{3}h\cdot 6\cdot CK\cdot sin\angle BCK}{\frac{1}{3}h\cdot
2CK\cdot sin\angle BCK}. \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{QCKB}}{V_{QCKA}}=\frac{6}{2}=3, \end{equation} \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{V_{QCKB}}{3}
\end{equation} \begin{equation} V_{QCKA}=\frac{15}{3}=5(CM^{3}) \end{equation} VQАВС = 15 + 5 = 20 (см3).
Відповідь: 20 см3