вправа 10.102 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

 
Вправа 10.102
 

Умова: 

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2√5 дм, а її основа і діагональний переріз рівновеликі. Знайдіть об'єм піраміди.


Відповідь ГДЗ:

вправа 10.102 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Нехай QАВСD - правильна піраміда,
QВ = QD = QА = QС = 25 дм.
SАВСD = SΔBQD.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
Позначимо а - сторона основи піраміди, тоді
SАВСD = а2, так як АВСD - квадрат.
ВD = а2, \begin{equation} OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} S_{\Delta BQD}=\frac{1}{2}BD\cdot QO \end{equation} Із ΔОQD (∠QОD = 90°) \begin{equation} QO=\sqrt{QD^{2-}-OD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(2\sqrt{5})^{2-}-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{20-\frac{a^{2}}{2}}. \end{equation} Тоді \begin{equation} S_{\Delta BQD}=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \sqrt{20-\frac{a^{2}}{2}} \end{equation} За умовою SАВСD = SΔВQD, тому \begin{equation} =\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \sqrt{20-\frac{a^{2}}{2}}=a^{2}, \end{equation} звідки \begin{equation} a\sqrt{2}=\sqrt{20-\frac{a^{2}}{2}} \end{equation} \begin{equation} 2a^{2}=20-\frac{a^{2}}{2}|\cdot 2 \end{equation} 4а2 = 40 - а2
2 = 40
а2 = 8
а = 8 = 22
Тоді SАВСD = а2 = (22)2 = 8 (дм2) \begin{equation} QO=\sqrt{20-\frac{8}{2}}=4(DM) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot QO \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot 4= \end{equation} \begin{equation} =\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}(DM^{3}). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 10\frac{2}{3}DM^{3} \end{equation}