вправа 10.70 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 10.70
Умова:
Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, у якої площа повної поверхні дорівнює 9√3 дм2, а площа бічної поверхні - 6√3 дм2.
Відповідь ГДЗ:
Нехай SАВС - правильна піраміда,
Sпов. = 9√3 дм2, Sбіч. = 6√3 дм2.
Знайдемо V - об'єм піраміди. \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot h, \end{equation} де Sосн. - площа ΔАВС,
h - висота піраміди.
Проведемо SО - висота піраміди,
SК - апофема.
Sосн. = Sпов. - Sбіч. =
= 9√3 - 6√3 = 3√3 (дм2) \begin{equation} S_{\Delta ABC}=S_{OCH}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, \end{equation} де а - сторона ΔАВС, тоді \begin{equation} \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}, \end{equation} звідки а2 = 12, а = 2√3 (дм)
Sбіч. = р • l, де р - півпериметр ΔАВС,
l - апофема. \begin{equation} S_{bi4}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}\cdot l=3\sqrt{3}l, \end{equation} тоді
3√3l = 6√3, звідки l = 2 дм.
Із ΔАВС знайдемо ОК - радіус кола,
вписаного в ΔАВС: \begin{equation} OK=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1 \end{equation} Із ΔSOK (∠SОК = 90°) \begin{equation} SO=h=\sqrt{SK^{2}-OK^{2}} \end{equation} Так, як SК = l, то \begin{equation} SO=h=\sqrt{l^{2}-OK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}. \end{equation} Отже, \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3(dm^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 3 дм3 - об'єм
Нехай SАВС - правильна піраміда,
Sпов. = 9√3 дм2, Sбіч. = 6√3 дм2.
Знайдемо V - об'єм піраміди. \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot h, \end{equation} де Sосн. - площа ΔАВС,
h - висота піраміди.
Проведемо SО - висота піраміди,
SК - апофема.
Sосн. = Sпов. - Sбіч. =
= 9√3 - 6√3 = 3√3 (дм2) \begin{equation} S_{\Delta ABC}=S_{OCH}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, \end{equation} де а - сторона ΔАВС, тоді \begin{equation} \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}, \end{equation} звідки а2 = 12, а = 2√3 (дм)
Sбіч. = р • l, де р - півпериметр ΔАВС,
l - апофема. \begin{equation} S_{bi4}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\sqrt{3}\cdot l=3\sqrt{3}l, \end{equation} тоді
3√3l = 6√3, звідки l = 2 дм.
Із ΔАВС знайдемо ОК - радіус кола,
вписаного в ΔАВС: \begin{equation} OK=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1 \end{equation} Із ΔSOK (∠SОК = 90°) \begin{equation} SO=h=\sqrt{SK^{2}-OK^{2}} \end{equation} Так, як SК = l, то \begin{equation} SO=h=\sqrt{l^{2}-OK^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3}. \end{equation} Отже, \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3(dm^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 3 дм3 - об'єм