вправа 10.82 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Відповідь ГДЗ:



Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - правильна зрізана піраміда,
АВ = 10 см, А₁В₁ = 4 см.
Проведемо ОО1 - висоту піраміди.
(т. О і т. О₁ - центри кіл вписаних в ΔАВСD і А₁В₁С₁D₁),
КК₁ - апофема піраміди.
За умовою ∠К₁КО = 30°.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
Із ΔАВСD маємо \begin{equation} OK=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 10=5(CM) \end{equation} Із А₁В₁С₁D₁ маємо \begin{equation} O_{1}K_{1}=\frac{1}{2}A_{1}D_{1}=\frac{1}{2}\cdot 4=2(CM) \end{equation} Розглянемо прямокутну трапецію ОО₁К₁К.
Із т. К₁ проведемо К₁М ~ ОК, тоді
К₁О = ОО₁ - висота трапеції та призми.
Із ΔКМК₁ (∠КМК₁ = 90°, КМ = ОК - О₁К = 5 - 2 = 3 (см)),
маємо \begin{equation} K_{1}M=KMtg\angle K_{1}KO= \end{equation} \begin{equation} =3\cdot tg\angle 30^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}(CM). \end{equation} Так, як АВСD і А₁В₁С₁D₁ - квадрати, то
S_АВСD = 10² = 100 (см²),
SА₁В₁С₁D₁ = 4² = 16 (см²) - площі основ призми.
Тоді \begin{equation} V=\frac{1}{3}K_{1}M(S_{ABCD}+\sqrt{S_{ABCD}\cdot S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_
{1}}}+S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{13}(100+\sqrt{100\cdot 16}+16)= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{3}(116+40)= \end{equation} \begin{equation} =\frac{{156}}{3}\sqrt{3}=52\sqrt{3}(CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 52√3 см³