вправа 10.86 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 10.86
Умова:
Основою чотирикутної піраміди є прямокутна трапеція, гострий кут якої дорівнює 30°, а більша бічна сторона - 8 см. Усі бічні грані піраміди утворюють із площиною основи кути по 45°. Знайдіть об'єм піраміди.
Відповідь ГДЗ:
Нехай SАВСD - піраміда, АВСD - прямокутна трапеція,
∠СDА = 30°, СD = 8 см.
Проведемо SМ - висота бічної грані,
тоді ∠SМО = 45°, (т. О - центр кола вписаного в трапецію),
SО - висота призми.
Проведемо СК ┴ АD, СК - висота трапеції АВСD,
тоді СК = 2r, r - радіус
кола вписаного в трапецію, СК = АВ.
Із ΔСКD (∠СКD = 90°)
СК = СD • sin∠СDА = 8sin30° = 4 (см).
Тоді r = ОМ = 4 : 2 = 2 (см).
Із ΔSОМ (∠SОМ = 90°)
SО = ОМ • tg∠SМО = 2 • tg45° = 2 (см).
Знайдемо площу SАВСD трапеції.
Так, як в трапецію можна вписати коло
(це слідує з того, що т. О - центр вписаного кола),
то ВС + АD = АВ + СD, тоді \begin{equation} S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(CK+CD)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(4+8)\cdot 4=24(CM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}24\cdot 2=16(CM^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 16 см3
Нехай SАВСD - піраміда, АВСD - прямокутна трапеція,
∠СDА = 30°, СD = 8 см.
Проведемо SМ - висота бічної грані,
тоді ∠SМО = 45°, (т. О - центр кола вписаного в трапецію),
SО - висота призми.
Проведемо СК ┴ АD, СК - висота трапеції АВСD,
тоді СК = 2r, r - радіус
кола вписаного в трапецію, СК = АВ.
Із ΔСКD (∠СКD = 90°)
СК = СD • sin∠СDА = 8sin30° = 4 (см).
Тоді r = ОМ = 4 : 2 = 2 (см).
Із ΔSОМ (∠SОМ = 90°)
SО = ОМ • tg∠SМО = 2 • tg45° = 2 (см).
Знайдемо площу SАВСD трапеції.
Так, як в трапецію можна вписати коло
(це слідує з того, що т. О - центр вписаного кола),
то ВС + АD = АВ + СD, тоді \begin{equation} S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(CK+CD)\cdot CK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(4+8)\cdot 4=24(CM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}24\cdot 2=16(CM^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 16 см3