вправа 10.92 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

 
Вправа 10.92
 

Умова: 

Плоский кут при вершит правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60°, а висота піраміди - 6 см. Знайдіть об'єм піраміди.


Відповідь ГДЗ:

вправа 10.92 гдз 11 клас геометрія Істер 2019

Нехай SАВСD - правильна піраміда,
SО - висота піраміди, SО = 6 см,
SК - апофема, ∠СSD = 60°.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
∠SКО і ∠СSD зв'язані формулою: \begin{equation} cos\angle SKO=tg\frac{\angle CSD}{2}, \end{equation} тобто \begin{equation} cos\angle SKO=tg\frac{60^{\circ}}{2}=tg30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{equation} Знайдемо \begin{equation} tg\angle SKO=\frac{sin\angle SKO}{cos\angle SKO}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{1-cos^{2}\angle SKO}}{cos\angle SKO}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{2} \end{equation} Із ΔSOK (∠SOK = 90°) \begin{equation} OK=\frac{SO}{tg\angle SKO}=\frac{6}{\sqrt{2}} \end{equation} Так, як АВСD - квадрат, то \begin{equation} AD=2\cdot OK=2\cdot \frac{6}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}(CM) \end{equation} Тоді, SАВСD = АD2 = (6√2)2 = 72 (см2) \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\cdot 72\cdot 6=144(CM^{3}). \end{equation} Відповідь: 144 см3