вправа 10.94 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 10.94
Умова:
Висота правильної шестикутної піраміди дорівнює 2 дм, а відстань від середини висоти до бічного ребра в 4 рази менша від сторони основи. Знайдіть об'єм піраміди.
Відповідь ГДЗ:
Нехай SABCDEF - правильна шестикутна піраміда,
SО - висота піраміди, т. К - середина SО, SО = 2 дм.
КМ ┴ SA, АF = 4КМ.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
ABCDEF - правильний шестикутник,
тому АО - радіус кола, описаного
навколо шестикутника, АО = АF.
Нехай КМ = х, тоді АО = АF = 4х,
т. К - середина SО, тоді SК = КО = 1 дм.
ΔSМК ~ ΔSОА (за двома кутами), тому \begin{equation} \frac{SA}{SK}=\frac{AO}{MK}; \end{equation} \begin{equation} \frac{SA}{1}=\frac{4x}{x}=>SA=4(DM) \end{equation} Із ΔSАО (∠SАО = 90°) \begin{equation} AO=\sqrt{SA^{2}-SO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}(DM) \end{equation} Тоді AF = 2√3 дм, \begin{equation} S_{ABCDEF}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot AF^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 12=18\sqrt{3}(DM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot SO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot 2=12\sqrt{3}(DM^{3}). \end{equation} Відповідь: 12√3 дм3
Нехай SABCDEF - правильна шестикутна піраміда,
SО - висота піраміди, т. К - середина SО, SО = 2 дм.
КМ ┴ SA, АF = 4КМ.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
ABCDEF - правильний шестикутник,
тому АО - радіус кола, описаного
навколо шестикутника, АО = АF.
Нехай КМ = х, тоді АО = АF = 4х,
т. К - середина SО, тоді SК = КО = 1 дм.
ΔSМК ~ ΔSОА (за двома кутами), тому \begin{equation} \frac{SA}{SK}=\frac{AO}{MK}; \end{equation} \begin{equation} \frac{SA}{1}=\frac{4x}{x}=>SA=4(DM) \end{equation} Із ΔSАО (∠SАО = 90°) \begin{equation} AO=\sqrt{SA^{2}-SO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}(DM) \end{equation} Тоді AF = 2√3 дм, \begin{equation} S_{ABCDEF}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot AF^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 12=18\sqrt{3}(DM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCDEF}\cdot SO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot 2=12\sqrt{3}(DM^{3}). \end{equation} Відповідь: 12√3 дм3