вправа 10.96 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 10.96
Умова:
Основою піраміди є ромб із гострим кутом 60°. Одна з бічних граней піраміди нахилена до площини основи під кутом 60°. У піраміду вписано кулю, радіус якої - 2 дм. Знайдіть об'єм піраміди.
Відповідь ГДЗ:
Нехай QABCD - піраміда, АВСD - ромб,
∠ВАD = 60°, т. О - центр кулі,
вписаної в піраміду, QМ - висота бічної грані,
ОО1 = ОК = 2 дм - радіус
вписаної кулі, ∠QМО1 = 60°.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
ΔQКО ~ ΔQО1М (за двома кутами),
тому ∠QОК = ∠QМО1 = 60°.
Із ΔQКО (∠QКО = 90°) \begin{equation} QO=\frac{OK}{cos\angle QOK}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{cos\angle 60^{\circ}}=4(DM) \end{equation} Тоді QО1 = QО + ОО1 = 4 + 2 = 6 (дм) -
висота піраміди.
Із ΔQО1М (∠QО1М = 90°) \begin{equation} O_{1}M=QO:tg\angle QMO_{1}= \end{equation} \begin{equation} =6:tg\angle 60^{\circ}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(DM) \end{equation} О1М - висота ромба та висота
ΔСО1М (∠СО1М = 90°)
Розглянемо ΔCО1D (∠СО1D = 90°)
∠DСО1 = ∠DАО1 = \begin{equation} =\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ}=30^{\circ} \end{equation} CО1 = О1М : sin∠DСО1 = \begin{equation} =2\sqrt{3}:sin30^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =2\sqrt{3}:\frac{1}{2}=4\sqrt{3}(DM) \end{equation} Тоді CD = CO1 : sin∠DСО1 = \begin{equation} =4\sqrt{3}:cos30^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =4\sqrt{3}:\frac{2}{\sqrt{3}}=8(DM) \end{equation} Sромба = SАВСD = СD2 • sin∠ВСD = \begin{equation} =8^{2}\cdot sin60^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}(DM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot QO_{1} \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\cdot 32\sqrt{3}\cdot 6=64\sqrt{3}(DM^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 64√3 дм3
Нехай QABCD - піраміда, АВСD - ромб,
∠ВАD = 60°, т. О - центр кулі,
вписаної в піраміду, QМ - висота бічної грані,
ОО1 = ОК = 2 дм - радіус
вписаної кулі, ∠QМО1 = 60°.
Знайдемо V - об'єм піраміди.
ΔQКО ~ ΔQО1М (за двома кутами),
тому ∠QОК = ∠QМО1 = 60°.
Із ΔQКО (∠QКО = 90°) \begin{equation} QO=\frac{OK}{cos\angle QOK}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{cos\angle 60^{\circ}}=4(DM) \end{equation} Тоді QО1 = QО + ОО1 = 4 + 2 = 6 (дм) -
висота піраміди.
Із ΔQО1М (∠QО1М = 90°) \begin{equation} O_{1}M=QO:tg\angle QMO_{1}= \end{equation} \begin{equation} =6:tg\angle 60^{\circ}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}(DM) \end{equation} О1М - висота ромба та висота
ΔСО1М (∠СО1М = 90°)
Розглянемо ΔCО1D (∠СО1D = 90°)
∠DСО1 = ∠DАО1 = \begin{equation} =\frac{1}{2}\angle BAD=\frac{1}{2}\cdot 60^{\circ}=30^{\circ} \end{equation} CО1 = О1М : sin∠DСО1 = \begin{equation} =2\sqrt{3}:sin30^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =2\sqrt{3}:\frac{1}{2}=4\sqrt{3}(DM) \end{equation} Тоді CD = CO1 : sin∠DСО1 = \begin{equation} =4\sqrt{3}:cos30^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =4\sqrt{3}:\frac{2}{\sqrt{3}}=8(DM) \end{equation} Sромба = SАВСD = СD2 • sin∠ВСD = \begin{equation} =8^{2}\cdot sin60^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =64\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}(DM^{2}) \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot QO_{1} \end{equation} \begin{equation} V=\frac{1}{3}\cdot 32\sqrt{3}\cdot 6=64\sqrt{3}(DM^{3})- \end{equation} об'єм піраміди.
Відповідь: 64√3 дм3