вправа 11.38 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 11.38
Умова:
Навколо циліндра описано правильну чотирикутну призму, а навколо призми - інший циліндр. Знайдіть відношення об'ємів цих циліндрів.
Відповідь ГДЗ:
Нехай в правильну чотирикутну призму
вписаного циліндра і навколо
призми описано цилінд.
Позначимо а - сторона основи призми,
R та r - радіуси основ описаного та вписаного
циліндрів відповідно, h - висота призми.
Знайдемо Vвпис. : Vопис. - відношення об'ємів
вписаного і описаного циліндрів.
Радіуси основ циліндрів будуть відповідно
радіусами вписаного і описаного кола
навколо основи призми, тому \begin{equation} r=\frac{a}{2},R=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{equation} Висота призми і висоти циліндрів
співпадають, тому \begin{equation} V_{B}=\Pi r^{2}h=\Pi \cdot \frac{a^{2}}{4}h \end{equation} \begin{equation} V_{O}=\Pi r^{2}h=\Pi \cdot \frac{a^{2}}{2}h \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{B}}{V_{O}}=\frac{\Pi a^{2}\frac{1}{4}h}{\Pi a^{2}\frac{1}{2}h}=\frac{1}{2}. \end{equation} Отже, Vвпис. : Vопис. = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2
Нехай в правильну чотирикутну призму
вписаного циліндра і навколо
призми описано цилінд.
Позначимо а - сторона основи призми,
R та r - радіуси основ описаного та вписаного
циліндрів відповідно, h - висота призми.
Знайдемо Vвпис. : Vопис. - відношення об'ємів
вписаного і описаного циліндрів.
Радіуси основ циліндрів будуть відповідно
радіусами вписаного і описаного кола
навколо основи призми, тому \begin{equation} r=\frac{a}{2},R=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \end{equation} Висота призми і висоти циліндрів
співпадають, тому \begin{equation} V_{B}=\Pi r^{2}h=\Pi \cdot \frac{a^{2}}{4}h \end{equation} \begin{equation} V_{O}=\Pi r^{2}h=\Pi \cdot \frac{a^{2}}{2}h \end{equation} \begin{equation} \frac{V_{B}}{V_{O}}=\frac{\Pi a^{2}\frac{1}{4}h}{\Pi a^{2}\frac{1}{2}h}=\frac{1}{2}. \end{equation} Отже, Vвпис. : Vопис. = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2