вправа 11.40 гдз 11 клас геометрія Істер 2019
Вправа 11.40
Умова:
У циліндр вписано призму, основою якої є прямокутний трикутник із катетом а і протилежним до нього кутом α. Висота призми дорівнює h. Знайдіть об'єм циліндра.
Відповідь ГДЗ:
Нехай АВСА1В1С1 вписана в циліндр,
∠АВС = 90°, ВС = а, ∠ВАС = α, АА1 = h.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Радіус основи циліндра є R - радіусом кола,
описаного навколо ΔАВС.
Тоді \begin{equation} R=\frac{1}{2}AC= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\frac{BC}{sin\angle BAC}=\frac{a}{2sin\alpha }. \end{equation} Висота циліндра співпадає з висотою призми, тому \begin{equation} V=\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\Pi \cdot (\frac{a}{2sin\alpha })^{2}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi a^{2}h}{4sin^{2}\alpha }. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi a^{2}h}{4sin^{2}\alpha } \end{equation}
Нехай АВСА1В1С1 вписана в циліндр,
∠АВС = 90°, ВС = а, ∠ВАС = α, АА1 = h.
Знайдемо V - об'єм циліндра.
Радіус основи циліндра є R - радіусом кола,
описаного навколо ΔАВС.
Тоді \begin{equation} R=\frac{1}{2}AC= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\frac{BC}{sin\angle BAC}=\frac{a}{2sin\alpha }. \end{equation} Висота циліндра співпадає з висотою призми, тому \begin{equation} V=\Pi R^{2}h= \end{equation} \begin{equation} =\Pi \cdot (\frac{a}{2sin\alpha })^{2}\cdot h= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi a^{2}h}{4sin^{2}\alpha }. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \frac{\Pi a^{2}h}{4sin^{2}\alpha } \end{equation}